模拟电磁波问题中的金属对象

Walter Frei 2019年 6月 18日

金属是一种高导电材料,能够非常好地反射入射的电磁波—光、微波及无线电波。当通过 RF 模块和波动光学模块模拟频域电磁波问题时,您可以通过其中的几个选项来模拟金属对象。这里,我们将介绍阻抗、过渡边界条件和完美电导体边界条件,并说明每类条件何时使用。

什么是金属?

对于什么是金属这个问题,我们可以从用于求解电磁波问题的 Maxwell 控制方程组开始。考虑以下频域形式的 Maxwell 方程组:

\nabla \times \left( \mu_r^{-1} \nabla \times \mathbf{E} \right) – {-\frac{\omega^2}{c_0^2}} \left( \epsilon_r -\frac{i \sigma}{\omega \epsilon_0} \right) \mathbf{E}= 0

上述方程通过 RF 模块和波动光学模块的电磁波,频域接口求解。方程求解了工作(角)频率 \omega = 2 \pi f 下的电场 \mathbf{E}。其他输入项包括以下材料属性:\mu_r相对磁导率\epsilon_r相对介电常数\sigma 电导率

出于本文的讨论目的,我们将假设集肤深度相对较小且有损耗的材料都是金属。有损耗材料指任何介电常数或磁导率为复数值、或电导率非零的材料。也就是说,有损耗材料会向控制方程引入一个虚数值项。这会在材料内产生电流,集肤深度是电流进入材料内深度的测量指标。

工作频率非零时,电磁感应都会将有损耗材料中的电流推向边界处。集肤深度是指电流减小到 63% 时进入材料的距离,可以通过以下公式计算:

\delta=\left[ \operatorname{Re} \left( \sqrt{i \omega \mu_0 \mu_r (\sigma + i \omega \epsilon_0 \epsilon_r)} \right) \right] ^{-1}

其中 \mu_r\epsilon_r 都可以是复数值。

在极高的频率(接近光学波段)下,材料接近等离子共振,我们实际上会通过复数值介电常数来表征金属。但当在低于这些频率下对金属进行模拟时,我们可以假设介电常数为一、磁导率为实数值,电导率非常高。因此上述方程可以简化为:

\delta=\sqrt{\frac{2}{\omega \mu_0 \mu_r \sigma }}

不过在您开始利用 COMSOL Multiphysics 进行模拟前,首先应计算或粗略估算所有模拟材料的集肤深度。集肤深度和零件尺寸信息,这两点将确定能否使用阻抗边界条件或过渡边界条件。

阻抗边界条件

既然已经知道了集肤深度,我们希望能将该值与模拟对象的特征尺寸 L_c 进行对比。L_c 有几种定义方式。根据具体情况,特征尺寸可以定义为体积与表面积的比值,或模拟对象最薄部分的厚度。

我们假设一个 L_c \gg \delta 的对象;也就是说,对象远大于集肤深度。虽然会有电流进入对象内部,但集肤效应会将这些电流推到表面上。因此,从模拟的角度来看,我们可以将电流看作在表面上方流动。此时就可以使用阻抗边界条件,它会将边界“背后”的所有材料处理为无限大。从电磁波的角度来看,这一点成立,因为 L_c \gg \delta 说明波不会穿透对象。

集肤深度极小的金属对象实例。
如果集肤深度远小于对象,就可以使用阻抗边界条件。

借助阻抗边界条件 (IBC),我们可以假定电流完全在表面之上,因此不必再模拟模型金属域内任何部分的 Maxwell 方程组。所以,不必再对这些域的内部进行网格剖分,并能显著减少计算工作量。此外,IBC 还计算了由有限电导率造成的损耗。对于 IBC 适用情况以及与解析结果的对比,您可以查看腔体谐振器的 Q 因子和谐振频率教程案例。

随着 L_c / \delta \rightarrow \infty,IBC 将逐渐更精确;对于类似球体的光滑对象,即使 L_c / \delta \gt > 10 ,它仍能保持精确。对于类似楔形的锋利对象,拐角处会略微不精确,不过正如 “通过圆角消除电磁场的奇异性” 博客中的讨论,这属于局部影响,也是向模拟引入尖角后的一个固有问题。

现在,如果我们要处理类似铝箔这种一个维度远小于其他维度的对象呢?此时,一个方向上的集肤深度可能会与厚度相当,因此电磁场将部分穿透材料。此时就不再适合使用 IBC,我们将使用过渡边界条件。

过渡边界条件

过渡边界条件 (TBC) 适用于模拟对象的厚度与特征尺寸和曲率相比较小的导电材料层。即使厚度是集肤深度的数倍,还是可以使用 TBC。

TBC 会将材料属性及膜厚度作为输入项,并通过膜厚度及切向阻抗来计算阻抗。这些可以用于将膜两侧表面的电流关联起来。也就是说,TBC 会造成所传输电场的下降。

从计算的角度来看,为了计算 TBC 两侧的电场,边界处的自由度数将增加一倍,如下图所示。此外,还将计算通过膜厚度的总损耗。有关该边界条件使用的示例,您可以查看分光器教程案例,它利用一个复数值介电常数模拟了银薄层。

带有表面电流的金属对象示意图。
过渡边界条件会计算边界两侧的表面电流。

增加表面粗糙度

截至目前,TBC 和 IBC 都假定表面是完美的。我们一般认为平面边界在几何上是完美的。正如 “线性静态问题的网格剖分注意事项” 博客中的介绍,弯曲边界可以在所用有限元网格的精度内被解析,即几何的离散误差。

粗糙及平滑表面上的表面电流图示。
与平滑表面相比,粗糙表面会阻碍电流。

但所有真实表面都存在一定的粗糙度,而且可能很大。表面的不完美将影响电流的纯切向流动,并会有效降低表面电导率(如上图所示)。在 COMSOL Multiphysics 5.1 版本中,我们可以通过向 IBC 和 TBC 条件增加表面粗糙度特征来分析该影响。

对于 IBC,输入是表面高度粗糙度的均方根 (RMS)。对于 TBC,输入为膜厚度变化的均方根。粗糙度的幅值应大于集肤深度,并远小于零件的特征尺寸。表面的等效电导率会随粗糙度的升高而降低,如 E. Hammerstad 和 O. Jensen 在 “微带线计算机辅助设计的精确模型” 论文中的介绍。雪球模型是第二个粗糙度模型,用到了 P. G. Huray 在“信号完整性基础” 中提到的关系式。

完美电导体边界条件

我们还应该再分析一种理想化的情况 — 完美电导体 (PEC) 边界条件。对于无线电和微波领域的许多应用而言,金属边界处的损耗要远小于系统内的其他损耗。例如在微波电路中,电介质基板处的损耗通常远大于任何金属喷镀处的损耗。

PEC 边界是一种无损耗表面;能够 100% 反射入射波。该边界条件可以满足许多模拟需求,可以用在模型开发的早期阶段。有时,查看您的设备在零材料损耗下的表现也会很有意思。

此外,您可以将 PEC 边界条件作为对称条件使用,简化您的模拟。根据对场的预先判断,您可以使用 PEC 边界条件以及其补充,完美磁导体 (PMC) 边界条件,来使电场强制对称。计算完美导体球的雷达截面教程案例介绍了如何将 PEC 和 PMC 边界条件作为对称条件使用。

最后,COMSOL Multiphysics 中还包括表面电流、磁场和电场边界条件。提供这些条件主要是考虑数学上的完整性,因为我们永远也无法事先得知表面上的电流和电场。

小结

在本篇博客中,我们重点介绍了如何借助阻抗、过渡及完美电导体边界条件来模拟金属表面,并说明了每种边界的应用场景。不过,如果您无法使用其中任意一种边界条件呢?或者您模拟零件的特征尺寸与集肤深度类似?此时,您将不能再使用边界条件;您需要显式模拟金属域,类似于对其他所有材料的处理。这是该系列的下一个主题,请继续关注。


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