来自 Lightness by Design 公司的特邀作者 Eric Linvill 分享了如何通过材料建模深入了解纸板的成型抗弯曲特性。
成型是纸张的基本物理特性，可以对纸张的生产和性能产生深远的影响。有限元方法可用于更好地了解成型如何影响机械质量控制测试及其结果。使用 Lorentzen & Wettre (L&W) 抗弯 (15°) 测试方法，我们研究了纸板成型如何影响抗弯曲性。
纸张力学概论
纸张是一种准随机材料，也就是说，在纸张的生产过程中，有一些因素会阻止纸张变得完全均匀。在造纸机上，纸张纤维在平面内随机排列（有时也会略微偏离平面），但还是会倾向于沿着运动的方向排列。然后通过压榨辊将这些方向锁定在适当的位置，从纸浆中去除大量的水。这意味着最终纸产品在生产的面内方向（机器方向）上最坚韧和最硬；在面内垂直于机器方向（横向）的方向上较柔软并且韧度较小；在纸的面外方向（z 方向）上最软且韧度最小。
此外，在生产过程中，纸张纤维往往会以絮状的形式聚集在一起。这些絮状物也将被通过压榨辊，从而最终形成具有相对较高密度和较低密度体积的结构。这些低密度和高密度区域分别对应于低刚度和强度与高刚度和强度的区域。
已有研究检查了成型过程对拉伸测试的影响，并将低密度区域与通过数字图像和热成像测量技术测量的高局部变形区域相关联(参考文献 1)。通常使用透射光来观察成型，如下图所示。
用透射光照射复印纸形成的图案，其中亮区对应于低密度区域，暗区对应于高密度区域。把一张纸放在灯光下自己看看！
纸板与上面显示的纸张类似，只是更厚更硬。在查看纸板质量时，有限元方法可以帮助纸生产商更好地了解机械质量控制测试、加工性能、包装性能和空间材料变化（例如成型）。举例来说，抗弯刚度是影响包装性能的重要材料特性：高抗弯刚度纸板在制成纸箱时往往比低抗弯刚度纸板具有更强的触感。此外，更大的抗弯刚度有助于提高纸箱强度。因此，弯曲刚度通常是纸板生产商和采购商考虑的关键参数。抗弯刚度通常通过 Taber 方法或 L&W 方法测量，但本文只研究使用 L&W 方法测量高达 15° 的抗弯性能(ISO 2943)。
本文特别考虑了一种三层折叠箱纸板，由三层纸板组成。对于折叠箱纸板，外两层通常比内层更轻薄，而且更硬、更坚固和更光滑。形成这种结构通常是为了最大限度地提高抗弯刚度和印刷性能，同时最大限度地降低材料成本。整体抗弯曲性是否受层状结构的影响尚不清楚，尽管有人可能推测较差的成型会导致较低的抗弯曲性。然而，造纸商们有许多方法可以改进成型过程，这些方法都需要大量的资本投资(例如，安装新的流浆箱)。因此，为了进行成本效益分析，必须量化成型过程对抗弯刚度的影响。在下面的小节，我们构建了一个模型，用于量化整体抗弯曲性可能受顶层成型影响的程度，并研究了影响形成的两个因素：密度变化和絮状物的大小。
模拟 L&W 抗弯试样
我们使用的模型是基于标准的 L&W 抗弯曲试验样张构建的。该样张宽度为 38 mm，测试长度为 50 mm，用于横向弯曲。该纸板模型采用三层结构，代表折叠箱板的三层结构：底层和顶层尺寸为 100 μm，中间层尺寸为 200 μm。
L&W 抗弯曲试验样张的三层纸张模型。
将纸板一端（y = 0）固定，在另一端（y = 50 mm）施加面外位移，对应于 L&W 弯曲测试期间的 15° 弯曲旋转。模型的输出是施加变形时的合力。
我们使用了一个纯弹性模型，这是一个极度简化的模型，因为弯曲到 15° 可能会导致样张发生塑性变形。进行这种简化有两个原因：这个模型只是一个演示，弹性弯曲刚度被认为是驱动纸箱刚度和强度的参数。下表显示了每层的平均弹性材料属性。请注意，所有材料属性都是假设的，并不代表实际的商业纸板。
| 材料属性 | 顶层和底层 | 中间层 |
|---|---|---|
| 纵向弹性模量（MPa） | 4000.00 | 2000.00 |
| 横向弹性模量 (MPa) | 2000.00 | 1000.00 |
| Z方向弹性模量 (MPa) | 250.00 | 100.00 |
| 平面内 (纵向-横向) 泊松比 | 0.45 | 0.45 |
| 平面外泊松比 | 0.00 | 0.00 |
| 面内 ((纵向-横向) 剪切模量 (MPa) | 1400.00 | 700.00 |
| 面外剪切模量 (MPa) | 60.00 | 30.00 |
表1. 不同层的材料特性。
将随机变化应用于材料模型的方法相对容易(尤其是与其他商业结构有限元软件相比)，Bjorn Sjodin 在他的博客文章对随机建模进行了逐步描述。本文使用了该文章中介绍的方法和方程，在这里重写了主方程，并根据所需的输出稍作修改，其中 M 是材料特性的合成乘数；A 是空间变化场的大小；N 是空间频率分辨率；g 是随机抽样的高斯分布，均值为 0，标准差为 1；β 是频谱（平滑）指数；D 是空间频率幅度；Φ 是相位角，从 0~ pi 的均匀分布中随机采样：
{k=-N}^{N} \sum_{l=-N}^{N}\sum_{m=-N}^{N}\frac{g(k,l,m)}{(k^2+l^2+m^2)^{\beta}/^2} \cos\Bigg(2 \pi\Big(\frac{kx} {D}+\frac{ly}{D}+\frac{mz} {D}\Big)+\phi(k,l,m)\Bigg)
上述空间变化方程所使用的参数如下表所示：
| 范围 | 描述 | 值 |
|---|---|---|
| N | 空间频率分辨率 | 20 |
| D | 空间频率幅度 | 0.4 |
| β | 谱（平滑）指数 | 0.8 |
| A | 空间变化场的大小 | 0.005 |
表2. 上一篇博文中介绍的用于空间变化方程的参数。
除泊松比之外的所有弹性属性都乘以乘数 M。对于一组随机种子，所得的横向弹性模量空间场如下图所示。
横向弹性模量的空间变化(Pa)，表示形成差异导致的弹性模量变化。
包含材料变化会导致模型中的网格依赖性，因此使用参数扫描来确定模型的网格灵敏度。网格灵敏度研究的结果如图 4 所示。网格最大边长为 1.0 mm 时，百分比误差非常低 (0.01 %)，因此在研究的其余部分中使用该网格尺寸。
模型的网格灵敏度。
此外，随机模型可能对其自身固有的随机性很敏感，因此还必须确定得出结论所需的重复解的数量（随机计算值的不同种子）。下图显示了平均抗弯曲刚度值如何随着额外的重复解收敛，以及置信区间条如何随着重复解数量的增加而减小。下图显示，应至少使用三个重复解来确保获得对 15° 的平均 L&W 弯曲力。因此，本研究将利用四种重复解来确保结论的可信度。为了确保结果可信，可以使用更多重复的解。
带有置信区间条的模型的随机敏感性。
为了自动计算密度差异大小（即空间变化场的大小）的影响，以及絮状物尺寸对 15° 的 L&W 抗弯曲阻力的影响，分别使用了材料和参数化扫描。
仿真结果讨论
变形过程中产生的应力和应变场是不对称的，因为材料属性本身是不对称的。如下图所示，在最大变形时底层表面的压缩横向应变场是不对称的。
其中一个重复解的底层表面的压缩横向应变。注意由材料变化引起的不对称应变模式。
为了研究顶层密度差异大小对抗弯刚度的影响，在不同水平的空间大小变化场参数 ( A ) 下进行材料扫描。下图显示了平均扫描结果（使用不同的随机种子重复四次以确保结果的可信度）以及每个平均点的 95% 置信区间。随着空间变化场大小接近零（零值表示完美形成），15° 抗弯刚度增加。这一结果表明，模拟的最差形成结果得到改进。
密度差异大小对弯曲阻力的影响。
为了研究絮状物尺寸的影响，对顶层的空间频率大小参数 (D)进行了不同水平的材料扫描。这些扫描的结果用不同的随机种子重复了四次，以确保结果的足够置信度，其平均值以及每个平均点的 95% 置信区间如下图所示。与大尺寸絮状物相比，小尺寸絮凝物在 15° 时的 L&W 抗弯曲强度平均更大，这意味着大尺寸絮状物比小尺寸絮状物对 15° 的抗弯阻力更加不利。该结果表明，如果造纸商将絮状物尺寸从本文假设的最大尺寸减小到最小尺寸，则 L&W 抗弯曲性 (15°) 可提高 3.3%-4.2%。
絮状物尺寸对抗弯曲性的影响。
通过量化 15°时 L&W 抗弯曲能力的可能改进，可以对潜在的资本投资进行成本效益分析。例如，可以帮助确定是否值得投资一个新的顶层流浆箱来提高抗弯曲性。
编者注, 2023/3/21: 相应的模型文件已经添加到模型交流库中。您可以在此查找。
Lightness by Design 是 COMSOL 的认证咨询公司，提供纸张力学专业知识以及针对纸张力学高级问题的仿真开发和计算执行。
参考文献
- A. Hagman and M. Nygårds, “Thermographical Analysis of Paper During Tensile Testing and Comparison to Digital Image Correlation,” Experimental Mechanics, vol. 57, 325–339, 2017, doi:10.1007/s11340-016-0240-4
关于特邀作者
Eric 是 COMSOL 认证咨询公司 Lightness by Design 的一名顾问，他的研究兴趣是纸质包装和航空航天结构。虽然这两个应用方向看起来像是随机的二重奏，但是它们之间的共同联系是均使用了轻质承重结构以及纤维材料。Eric 的航空结构工程背景包括获 Embry-Riddle Aeronautical 大学学士学位，以及担任顾问的项目经验等。在完成航空航天教育后，Eric 在瑞典斯德哥尔摩的 KTH 皇家理工学院攻读固体力学博士学位，专注于纸张力学研究，随后进入了精彩的纸张世界，并在造纸公司 WestRock 从事了 1.5 年的研发工作。此后，他一直担任 Lightness by Design 公司的顾问，除了咨询，他还继续开发有限元仿真工具(全面的用户定义材料和虚拟实验室)，以便对纸制品和工艺进行更高级的仿真。
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