利用对称性进行射频和波动光学模拟

简化并缩减有限元模型以减少计算复杂性的一种方法是：利用模型可能具有的任何对称性。在处理计算量巨大的电磁波应用时，缩减模型尤为重要。然而，由于电场和磁场具有矢量特性，它们并不一定遵循所有可能的几何对称性。因此，为了保证物理和几何上的对称性是一致的，我们需要特别注意设置方法并能够证明它的准确性。

在这篇博客中，我们将介绍在 COMSOL Multiphysics^® 中利用对称性进行射频和波动光学模拟的典型工作流程。重点介绍最常用的 电磁波，频域 接口中边界条件的正确选择，讨论如何有效地管理模型以验证结果，以及分析结果的各种方法，包括远场计算和集总参数计算。

应用对称条件的一个例子：纳米球对平面波的散射

我们先来看一个基本的波动光学案例：悬浮在自由空间中的纳米球对平面波的散射。具体来说，我们将考虑波长为 500 nm、在 z 方向偏振并沿正 x方向传播的平面波，以及半径为 100 nm、折射率为复值的纳米颗粒，该折射率取自 COMSOL 内置的光学材料库（Raki 等，1998）。

要模拟这种情况，我们将使用 电磁波，频域 接口和 散射场 公式，并使用完美匹配层包裹周围的自由空间域，以确保外部边界没有反射。由于我们感兴趣的输出结果是远场散射，因此将添加 远场域 特征，以获得相应的可视化效果。使用默认的 物理场控制网格，并激活 解析损耗介质中的波 复选框和 波长域 研究。下图中的 COMSOL Multiphysics^® 用户界面显示了部分设置。

纳米球对平面波的散射。设置窗口中突出显示了 散射场 公式。在 图形 窗口中，显示得到的总场（多切面 绘图）以及功率流（体箭头 绘图）。

虽然从计算所需的内存量和求解时间来看，这个示例要求并不算高，但减少这些需求永远不会有坏处。模型越复杂或需要运行的测试越多，如果能够减少需要的自由度（DOF），就能获得越显著的性能提升。利用对称性是最明显且最有效的一种方法。

注：稍后我们将讨论贴片天线模型的性能提升。

从几何图形来看，由于纳米粒子中心与原点对齐，因此有三个可能的对称平面：xy、zy 和 yz。让我们来确定是否任何一个都可用于缩减模型。在这之前，有必要讨论一下电场和磁场在对称平面上的行为，以及相关的控制方程。

物理场和电磁场系统的实现

电磁场对称性的物理原理与实现方法根据麦克斯韦方程组的特性，如果切向电场为零或切向磁场为零，我们就可以使用一个平面对称。如果切向电场为零，则磁场具有镜像对称性，这可以用 \textbf{n} \times \textbf{E} = 0 来描述。如果切向磁场为零，则电场具有镜像对称性，可描述为 \textbf{n} \times \textbf{H} = 0。

好消息是，这些镜像对称性可以在 COMSOL Multiphysics^® 中轻松实现。从 6.1 版本开始，电磁波，频域 接口有一个专门的 对称平面 条件，可在 零切向电场 (PEC) 和 零切向磁场(PMC) 之间进行选择，前者 相当于基本的 理想电导体 条件，后者相当于 理想磁导体 条件。两种情况的示意图如下。

注：AC/DC 模块中也有为处理电场和磁场而设计的具有类似功能的接口。

两张示意图说明了两种可能的 对称平面 条件。左图显示的是磁场的镜像对称性，使用 零切向电场(PEC) 选项模拟。右图显示的是电场的镜像对称性，使用 零切向磁场 (PMC) 选项模拟。

请牢记这些信息，然后，我们再回到上文中的示例，理清在哪里可以应用 对称平面条件。

确定可能的对称性

以下是一个简要的问题清单，可以帮助我们选择合适的对称面:

• 波在给定平面上的传播和散射方向是否允许利用对称性？
• 在可能的对称面上，波的偏振会发生什么？
• 我们能否认为某一平面上的切向电场或切向磁场均为零？
  • 相反，我们是否期望这些场的方向会由于复偏振态（例如圆偏振）而在空间中沿给定平面发生变化？
• 我们是否期望激发出具有不同对称性的高阶模式？

如何回答这些问题取决于具体情况。有时，答案很简单。例如，对于上述测试示例，我们可以立即将 yz 平面排除在外，因为背景场会向它传播，来回的散射在方向和振幅上都会有所不同。

确定是否可以使用其他两个平面可能需要一些推理和/或初步测试。背景场在 z 方向上极化，因此我们可以考虑电场（“E 场”）在 zx 平面上的镜像对称性，以及磁场（“H 场”）在 xy 平面上的镜像对称性。在这种情况下，米氏散射不会影响这些平面上的极化，也不会产生打破所选对称性的模式。既然我们已经有了完整模型几何的解，就可以通过绘制 zx 和 xy 切向平面上的电场和磁场矢量图来轻松确认。可以使用 体箭头 绘图类型来实现，这种绘图在分析任何矢量场时都非常方便。

zy（左图）和 xy（右图）切向平面上的 E 场（红色箭头）和 H 场（蓝色箭头）。

体箭头 绘图证实，对称平面 条件可通过 零切向磁场 (PMC) 选项应用于 zx 平面，以及通过 零切向电场 (PEC)选项 应用于 xy 平面。

现在，是时候在我们的模型中应用这些对称性了。

在几何和物理场中实现对称性

在几何层面，我们应该为每个对称平面创建一个 工作平面，通过 分割对象 操作使用 工作平面 对整个几何图形进行分割，最后使用 删除实体 操作删除不再需要的实体。此处详细介绍了这一工作流程。在我们的案例中，如果手头有完整的模型，那么复制粘贴整个 组件（相当于复制它）并在第二个 组件 中执行所有这些几何体修改操作将非常高效。

在物理场层面，当我们简化几何后，需要做的主要改动是为每个独立平面添加对称 平面条件。最好使用 对称平面 条件，而不是单独的 理想电导体 和 理想磁导体条件；添加 对称平面 条件后，端口、集总端口、截面计算 和 远场域 节点中的某些表达式将自动调整。最后一个节点非常适合处理我们的示例，因为计算远场结果在这里非常重要。

注：您可以使用 图形 窗口中右键并选择 按连续相切分组 选项，一键选择所有需要的边界。

完成物理设置后，我们就可以为第二个 电磁波，频域 接口添加新的 波长域 研究并启动它。然后，我们就进入了仿真中最有趣的部分——可视化和计算结果。

对给定对称条件的简化模型进行分析

从下面的截图中可以看到，当我们使用 对称平面 功能并在 远场计算 子节点的设置中选择 来自对称平面 选项时，远场可视化不需要任何额外设置就能生成完整的辐射模式。

使用两个对称平面实现了从纳米球上散射的平面波简化模型。图中显示了远场图。绘图会自动生成完整几何的辐射模式。

另一方面，标准电场图默认使用简化的几何显示。不过，您可以添加几个额外的 三维镜像 数据集，以便在显示结果时还原完整的几何。这些数据集具有 矢量变换 的高级设置，需要与实现的对称性对齐。在我们的示例中，对于 zx 镜像，需要使用 反对称 选项。提醒一下：只有在绘制向量场时才需要使用反对称 选项；对于标量变量，最好保留默认设置。

在进行任何积分操作（例如计算有损粒子吸收的总功率）时，我们都要考虑到同样的问题；我们可以使用额外的 三维镜像 数据集，或者在使用默认的 解 数据集时手动添加相应的倍增因子。

再举两个例子

我们再来看两个可以利用对称性的例子。我们将更快速地介绍这两个例子，只关注一些无法用纳米球散射模型来演示的方面。这两个例子以及第一个模型可在文末下载。

使用集总端口模拟的贴片天线案例

天线模拟是另一个可以从利用对称性获益的领域。为了演示，我们考虑 COMSOL 案例库中的微带贴片天线教程模型。我们将展示在 yz 平面上对其进行分割，并使用 零切向磁场 (PMC) 选项实施 对称平面 条件会如何影响集总参数的绘制，以及常规频率扫描的一般性能。

这里的关键考虑是，当我们简化模型时，会将辐射集总端口切成两半。对于这种情况，可以选择 通过对称平面调整特性阻抗 选项。选择该复选框意味着，即使将端口面积减小了 2 倍，也能保持完整几何体的特性阻抗 值，这样就有机会直接计算与该值相关的所有变量，如集总端口电压、S 参数、实际增益等。然而，一旦通过基于边界的积分计算出集总端口的功率和阻抗，我们就需要对其进行缩放，以获得正确的数值。这种缩放要求与在第一个例子中的体积损耗积分类似。

另一个需要注意的问题是，切割 集总端口 边界的方向，以及这对输入电压振幅的影响。对于贴片天线模型，厚度保持不变，因此无需缩放电压幅度。但是，如果对称性沿垂直于整个 集总端口 的电场方向切割，就需要在缩小的模型中加入相应的乘数来缩放电压幅度。在 集总端口 内定义功率时也要考虑同样的因素，因为会按照 V0 = \sqrt {2 \cdot P0 \cdot Z0} 自动进行转换。

计算结果

当将所有这些结果与完整几何参考进行比较时，可能会发现显著差异。虽然一开始可能会让人感到困惑，但这恰恰表明需要进行网格细化研究。换句话说，对于简化的模型，我们可以看到更高的集总端口分辨率，这一点非常重要，因为它提高了计算的集总参数的准确性。对于其他小几何细节也是如此。实现网格充分细化的一种方法是在简化模型和参考模型的网格中选择 细化传导边 选项。下一张截图显示了最终结果。通过重新进行计算，您可以在简化模型和完整模型之间获得更好的相关性。

注：另一种找到最佳网格分布的方法是运行 频域，RF自适应网格 研究。您可以相应的教程模型中查看详细信息。

使用 对称平面 条件的微带贴片天线模型。在绘图 1（上图）中，您可以看到 细化传导边 功能生成的优化网格配置，以及以对数刻度显示的电场模式。在绘图 1 下方，选定的集总参数表（左）和绘制的 S11 曲线（右）都显示了完整模型和简化模型之间的紧密相关性。

在这个案例中，实施对称性的一个积极作用是：它带来了更好的精度，但对计算过程有什么影响呢？下表显示了两次测试运行的结果，比较了完整模型与简化模型在自由度数、使用的 RAM 和求解时间方面的性能。简而言之，将模型减半后，求解时间减少了 42%，内存使用量减少了 25%。这些数字与硬件有关，对资源要求更高的应用将获得更好的性能提升。

基于修改后的微带贴片天线模型的性能比较。使用的 RAM 和求解时间分别减少了 25% 和 42%。

矩形波导和高阶模式

在实施 对称平面 条件时，还需要仔细考虑系统中涉及多个不同模式的计算。此类应用可能直接涉及特征值计算，也可能是一个在模拟域内或通过一组 端口 条件激励各种模式的频域模型。

举例来说，让我们来看一个矩形波导横截面的简单 模式分析 研究，重点关注对称性的影响。当我们研究感兴趣的模式时会发现，在前六个模式中，TE10、TE11 和 TM11 遵循 零切向磁场 (PMC) 型对称性，而 TE01、TE20 和 TE21 则具有理想电导体 (PEC) 型对称性。也就是说，如果我们要考虑一个同时存在 TE10 和 TE20 模式的多模波导，就需要保留完整的几何结构；否则，我们就会丢失其中一个模式，从而得到不正确的最终结果。

对于每个复杂的多模应用来说，一个好的做法就是像我们在这篇博客中所做的那样，对系统中感兴趣的模式进行初步研究。对于波导模型，明智的做法是执行扩展模式分析 。对于一般情况，一些常识性推理或 特征频率 计算可能很方便。

矩形波导的 TE10（左图）和 TE20（右图）模式。在两种模式的上图中，切向 E 场用红色箭头标出，H 场用蓝色箭头标出。中图显示了 E 场和 H 场分布的大小。如果利用对称性，TE10 模式需要满足零切向磁场（PMC）条件，而 TE20 模式则需要满足零切向电场（PEC）条件。

在某些情况下，还需要注意两个额外的修改：如果采用的是根据序列号选择模式的方法，那么当通过对称性缩减模型时，就需要对这一方法进行相应的更新。如果我们使用端口条件，应该记住缩放 端口 的输入功率，并根据其表面减小的比例进行缩减。

关于对称平面条件的总结

在这篇博客中，我们演示了如何遵循一些简单的规则并利用 对称平面 条件，在电磁波，频域 接口中利用 对称 条件。如果使用得当，这种方法可以提升各类散射、辐射和波导问题的计算性能，甚至获得更精确的结果。虽然这些操作几乎是全自动的，但在可视化和计算结果时，某些操作（如体积积分或边界积分）可能需要额外的手动缩放。在简化模型时，我们鼓励大家先运行初步简化模型，并与完整模型进行比较，以确保结果的一致性。

动手尝试

点击下方链接获取本文中讨论的教程模型，尝试自己动手利用对称性，查看所有辅助设置和各种可视化及计算结果的选项。