特征频率分析

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特征频率分析简介

特征频率固有频率 是系统趋于振动时的特定离散频率。许多类型的系统中都存在固有频率,例如,在乐器或 RLC 电路中,固有频率表现为驻波模式。本文主要描述机械结构中的特征频率研究,但其中的许多概念具有普遍的适用性。

当结构在特定的特征频率下振动时,会变形为相应的形状,我们称为特征模态。特征频率分析只能提供模态的形状,而不能提供任何物理振动的振幅。仅当已知实际激励和阻尼特性时,才能确定实际的变形大小。

确定结构的特征频率是结构工程的重要组成部分。以下列出此类分析的一些目的:

  • 确定周期性激励不会产生可能造成过度应力或噪声辐射的共振
  • 确定周期性激励会在压电振子等器件中产生共振
  • 基于所有固有频率均高于负载频谱这一事实,检查结构准静态分析是否恰当
  • 研究适用于后续动态响应分析的时间步或频率选择
  • 为基于模态叠加的后续分析提供特征模态
  • 通过研究振型,深入分析设计更改如何影响特定的特征频率
 

音叉在一阶固有频率(440 Hz)下的自由振动。位移被明显放大。

单自由度系统

无阻尼

我们来研究一个由质量块和弹簧组成的简单系统作为入门介绍,如下图所示。

具有单自由度的无阻尼系统示意图。 具有单自由度(DOF)的无阻尼系统。 具有单自由度(DOF)的无阻尼系统。

质量块的运动方程为

但是,如果质量块不受外力作用,则仍可能存在非零解。可以立即证实

满足运动齐次方程,但前提是

其中,固有角频率,单位为 rad/s。它与固有频率 (单位:Hz)的关系可以表示为 。只要不会产生混淆,有时可以采用更宽泛的说法,直接将 称为固有频率。

上述解可以解释为:质量块一旦开始振动过程,就可以在没有任何外部激励的情况下完全以这个频率进行自由振动。举个例子,如果您拉伸弹簧后再松开,质量块会以这个频率永远振动。但实际生活中总存在或多或少的阻尼,所以振动最终会逐渐消失。

上述特征频率表达式在刚度和质量如何影响特征频率方面表现出非常普遍的特性:

自由振动 下,系统能量守恒。质量块的动能转化为弹簧应变能,反之亦然。

阻尼系统

假设系统中也存在粘滞阻尼,则运动方程为

具有单自由度和粘滞阻尼的系统示意图。 具有粘滞阻尼的单自由度系统。 具有粘滞阻尼的单自由度系统。

在分析谐振动时,使用复数表示法非常方便,其中谐函数表示为 。这种表示法可用于以下方程。在复数表示法中,位移可以写为 ,其中 为复数值大小。在这个表示法中,每个时间导数都能给出一个因子 。因此,在没有任何外力作用的情况下,运动方程可以转化为

仅当 为特定值时,才能满足此方程(对于非平凡解的情况 ),因此方程可由下式给出

通过使用以下表示法

特征值方程可以写为

这里的 称为无阻尼固有(角)频率 称为相对阻尼比

特征值,即上述二次方程的解,可以表示为

在复数位移方程中插入 值,可得

其中 为任意大小。

这个表达式的周期部分具有阻尼固有(角)频率 。在谐函数部分前面有一个呈指数衰减的乘数。因此,在阻尼系统中,自由振动会逐渐消失。

显示阻尼系统中的自由振动衰减的一维绘图。 不同阻尼比的自由振动衰减。 不同阻尼比的自由振动衰减。

仅当 时才存在振荡解。过阻尼系统在任何固有频率下都不会产生共振。

一般来说,描述阻尼过程的特点非常困难。上面使用的粘滞阻尼因其具有数学上的简明性得到了广泛的应用。另一个常见的阻尼模型是滞后阻尼阻尼损耗因子。该模型无法用时间导数来明确描述,而是直接通过频域中的复数来表示。假设弹簧中的力和位移不同相,便会产生复数刚度。由此得到的特征值方程变为

其中 为损耗因子。

复特征频率将为

该值同样是复数。对于损耗因子值较小的情况,指数因子 可以表示振荡幅值的衰减量。

多自由度系统

具有多个自由度(DOF)的线性系统可以通过以下类型的矩阵方程来描述其特点

其中, 为质量矩阵、 为阻尼矩阵, 为刚度矩阵。行矢量 和力 都具有自由度。

双自由度系统示意图。 双自由度系统。 双自由度系统。

由此,可以使用以下矩阵方程来描述自由振动问题

这就形成了复特征值问题。在形式上,可以通过确定下式来求解特征值

实际上,如果存在许多自由度,则需要使用其他方法。特征值数量通常与自由度数相同。严格来说,特征值数量等于质量矩阵的秩。

每个特征值都对应一个振型(也称为特征模态)。当结构以特定的固有频率振动时,变形的形状就是相应特征模态的形状。对于上面的双自由度系统,一阶特征模态(对应于最低特征频率)由两个同向运动的质量块构成;而在二阶特征模态中,两个质量块进行反向运动。下面针对 的无阻尼双自由度系统阐述这两个特征模态,其中固有频率为

对应的特征模态为

每个特征模态的最大元素是任意选定的,这里为 1。这两个模态的动画如下所示。

 


一阶振型。内外质量块振幅之间的关系为 0.618。

 


二阶振型。内外质量块振幅之间的关系为 1/0.618,且位移方向相反。

请注意,在无阻尼系统的自由振动过程中,所有自由度都将在同一时间达到各自的峰值。此外,它们还将同时通过平衡位置。因此,二阶特征模态的振动可以写为

特征模态的正交性

无阻尼结构的两个特征模态 可以显示为具有以下正交性:

由于特征模态的振幅是任意的,因此可以选择不同的归一化类型。通常选择使用质量矩阵缩放,因此

其中, 为克罗内克函数。

选择这一矩阵缩放后可得,

其中, 是模态 i 对应的特征频率。

如果两个特征频率一致,则对应的模态不会自动正交。然而,由于特征模态总是可以叠加的,因此可以得到两个正交模,这一点在实际中一般都能实现。

对于阻尼问题,仅当阻尼矩阵 具有特定的形式时,其特征模态才具有类似的正交性。其物理解释为,对于一般的阻尼系统,特征模态之间将存在交叉耦合,以便在振动过程中,能量可以在不同的模态之间进行传递。能够保持正交性的最简单的阻尼矩阵形式是瑞利阻尼,在这种情况下

其中, 为两个阻尼参数。

瑞利阻尼没有直接的物理意义,对它的使用仅仅出于数学处理的方便性。

参与因子

在描述特定模态在特定方向受刚体加速度激励的程度时,使用模态参与因子 是一种有效的方式。模态为 i、激励方向为 j 的参与因子 可定义为

其中, 是一个矢量,它的沿 j 向运动的自由度的所有分量值均为 1,而所有其他分量则为 0。请注意,如果使用质量矩阵缩放,则分母的值为 1。

您也可以定义旋转加速度的参与因子。在这种情况下,矢量 的结构将更复杂,其中的元素取决于到旋转中心的距离。

模态质量

模态质量 的概念有时会引起混淆。模态质量的一种定义是内积

在使用质量矩阵缩放时,这意味着每个模态的模态质量均为 。其他的归一化选择会提供其他值,所以从这个意义上来说,模态质量并没有真正的物理意义。

有效模态质量 是一个与模态参与因子有关的物理量。在 j 方向激励的模态 i 的有效模态质量可以根据参与因子和模态质量定义为

所有特征模态在特定 j 方向的有效模态质量之和等于结构的总质量:

因此,我们可以得到有效模态质量的物理解释。对于 j 方向的加速度,通过上式可以计算总惯性力中有多少与模态 i 有关。该表达式可用于估计在基于模态叠加的后续响应分析中,实现直观的表示效果所需的模态数。

复特征模态的解释

如上所述,阻尼系统的特征频率通常为复值,其中实部包含角频率,虚部提供有关模态阻尼的信息。

除此之外,特征模态本身也会是复值。对于阻尼结构,不同的位置的特征模态位移不再同相,并且复位移将携带相位信息。如果上面的双自由度示例通过一个阻尼器()进行扩展,则特征频率将变为

如果相对阻尼比较小,可以估算为特征频率的虚部与实部之比。因此在这两种模态下,比值都略大于 0.2。阻尼特征模态为

一阶模态中两个位移分量之间的相位角差为 17°,二阶模态中为 137°。在无阻尼的情况下,对应的值分别为 0°和 180°。在下面的动画中,可以清晰地看到两个位移不同步。

 


阻尼系统的二阶特征模态。两个质量块的位移不再同相。

连续系统

一般的实体、梁或板等连续系统将具有的特征频率取决于几何结构、材料特性和约束,通常连续系统具有无数个特征频率。而实际上,有意义的模态的数量却是有限的。高阶模态不太可能受到很大程度的激励,并且通常具有较大的阻尼。

在一般情况下,特征模态是在整个体上定义的位移场 。在连续的情况下,模态的正交性可以表示为

其中 为质量密度。

这里针对密度选择了归一化(对应于离散情况的质量矩阵缩放),但这不是必需的。相关的数学解释是,特征模态关于一个内积正交,其中将质量密度分布作为权函数来定义这个内积。

下面将对常见结构类型的特征频率进行详细描述。

对于长度为 L、具有恒定抗弯刚度 EI 以及单位长度质量为 的细长梁,其特征频率可以写为

系数 与支承条件和模态数相关。

支承

固定-自由(悬臂梁)

两端销住(简支)

固定-固定

固定-铰支

简支梁的三个特征模态示意图。 简支梁的前三阶特征模态。 简支梁的前三阶特征模态。
悬臂梁的三个特征模态示意图。 悬臂梁的前三阶特征模态。 悬臂梁的前三阶特征模态。

金属线

在类似吉他弦这样的金属线中,刚度由张力提供,因此通过转动弦轴来改变弦的张力,可以对吉他调音。这种金属线的固有频率由以下表达式给出

其中,T 为张力、L 为长度, 为单位长度质量。

吉他调音照片。 吉他调音。 吉他调音。

板的固有频率与板的抗弯刚度 D 和单位面积质量 相关。各向同性弹性材料的抗弯刚度为

其中,E 为杨氏模量、h 为板厚, 为泊松比。

特征频率和特征模态与板的几何结构以及边上的支承条件相关,其中特征频率的形式为

举例来说,边长为 ab 的简支矩形板的特征频率为

其中,指数 mn 可以为任何正整数值。

矩形板的六个特征模态。 简支矩形板的前六阶特征模态。 简支矩形板的前六阶特征模态。

膜与金属线类似,其刚度与面内张力成正比。由于各个方向的张力不尽相同(并可能随膜发生改变),因此很难写出通用的特征频率表达式,但其结构可以表示为

其中,T 为单位厚度的面内力, 为单位面积质量。

对于半径为 R、均匀径向张力为 T 的圆膜,其固有频率为

下表给出了系数 的前几个值。

n = 0 n = 1 n = 2
m = 1 2.405 3.832 5.136
m = 2 5.520 7.016 8.417
m = 3 8.654 10.17 11.62
圆膜的六个特征模态。 预张力均匀的圆膜的前六阶特征模态,分别对应于指数 (m,n) = (1,0)、(1,1)、(1,1)、(1,2)、(1,2) 和 (2,0)。请注意,模态 2 和模态 3、模态 4 和模态 5 是重复的,具有相同的固有频率。 预张力均匀的圆膜的前六阶特征模态,分别对应于指数 (m,n) = (1,0)、(1,1)、(1,1)、(1,2)、(1,2) 和 (2,0)。请注意,模态 2 和模态 3、模态 4 和模态 5 是重复的,具有相同的固有频率。

对称结构

呈现一种或多种对称的结构具有多个特征频率,因此对应的特征模态也不唯一。以前面讨论的圆膜的二阶和三阶模态为例,这两个模态的特征频率相同,并且绘制的两个振型旋转后相互成 90°。然而,任何旋转方向都会提供有效的特征模态。一般情况下,人们会优先选择正交振型。

有时,与从有限元解中得到的多个特征值对应的振型不具有直观的形状。以一块方板为例,在教科书中,模态很可能显示为以下形状。

二次板特征模态的教科书示例。 二次板的二阶和三阶特征模态。 二次板的二阶和三阶特征模态。

然而,有限元分析结果可以是这些基模的任意线性组合,以下图为例。

二次板特征模态的有限元分析示例。 二次板二阶和三阶特征模态可能出现的另一种情况。 二次板二阶和三阶特征模态可能出现的另一种情况。

在分析对称结构时,我们可以利用对称性,只对一半或四分之一的结构建模。虽然这种做法是可行的,但此方法需要使用几组不同的边界条件进行多次分析。例如,如果使用一个对称平面,则必须使用对称和反对称边界条件。

下面讨论在对称平面框架上使用对称条件的情况。通过使用两组边界条件可以提取整个结构的所有特征模态。

显示球门特征频率和特征模态的六个模型。 球门的前六阶特征频率和特征模态。 球门的前六阶特征频率和特征模态。
利用对称性建模的半个球门的特征频率和特征模态。 使用半个模型和对称边界条件得到的前六阶特征频率。 使用半个模型和对称边界条件得到的前六阶特征频率。

旋转对称结构的有些特征模态呈轴对称,有些则不是。这意味着通常情况下,在计算特征频率时,需要对轴对称结构进行全三维分析。

模态应力

我们不仅可以对特征模态的位移进行计算和可视化,也可以对应力或应变等其他物理量执行同样的操作。就像位移,虽然实际值是任意的,但应力分布可以使我们深入了解特定模态的激励对应力的影响。当我们已知激励具有窄带频谱时,可以使用这一信息来更改设计。

悬臂梁前四阶特征模态对应的模态应力模型。 带缺口悬臂梁的前四阶特征模态对应的模态应力。缺口处的应力集中主要在三阶模态中激活。 带缺口悬臂梁的前四阶特征模态对应的模态应力。缺口处的应力集中主要在三阶模态中激活。

当结构振动时,高阶模态对应力的贡献通常大于对位移的贡献。这是因为高阶模态的形状更为复杂,因此特定的峰值位移往往预示着更大的应变。

重复结构

有些结构(比如风扇)包含大量的重复部分。如果我们只为一个小扇区建模,并结合简单的循环对称边界条件,就可以得到单个叶片的特征模态。但这种方法并不正确,因为扇叶之间还存在耦合。尽管如此,我们仍然可以对单个扇区执行分析。但边界条件必须基于 Floquet 理论,这种边界条件中引入了方位角模数。

然后,我们就可以基于一系列方位角模数进行求解,这一方法的优势在于计算量很小。尽管我们必须根据扇区数来执行多次分析,但计算量与扇区数严格成正比。不过,计算较小的单扇区模型和计算完整模型所需的 CPU 时间存在非常大的差异。

风扇第 14 阶特征模态分析。 风扇第 14 阶特征模态。 风扇第 14 阶特征模态。

在仅包含一个基本单元的模型中,Floquet 类型的边界条件还可用于计算大型重复栅格的特征频率。

无约束结构

在计算振动的固有模态和对应的特征频率时,我们不需要对结构施加约束。举个例子,如果您观看投掷标枪的慢动作视频,就可以清楚地看到标枪在其一阶弯曲模态的振动情况。无约束的特征模态有时称为自由-自由模态

投掷标枪时的弯曲模态示意图。 投掷标枪过程中的弯曲模态。 投掷标枪过程中的弯曲模态。

对于无约束结构,许多特征频率的值都将为 0,这样的特征频率对应于刚体运动。完全自由的三维结构将有六个刚体模态。使用某些公式求解此类问题时可能存在数值问题。

应力刚化

一般来说,结构中的拉应力将提高其固有频率。实际上,膜和金属线只有在应力状态下才具有刚度。对于板等其他情况,拉应力将有助于增大抗弯刚度。扇叶分析就是这种效应发挥重要作用的一个例子,其中离心力通常产生径向定向的拉应力,从而提高固有频率。

同理,压应力会降低结构的固有频率。

发布日期:2018 年 4 月 19 日
上次修改日期:2018 年 5 月 8 日