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静电学理论

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自由空间中的静电

静电学是电磁学的一个子领域,研究静(非运动)电荷引起的电场。我们首先从自由空间开始讨论,假设空间电荷密度为 ,它与电场 的关系式如下:

(1)

其中, 是自然界的一个普适常数,称为自由空间的介电常数。

这一关系意味着,在静电学中,空间电荷密度相当于一个体积源。只有电荷-电场关系是不够的,但麦克斯韦方程组隐含了一个额外要求,即电场为无旋场(无旋度):

(2)

这是用于描述静电场的法拉第定律。

演示无旋矢量场的静电场图。

两块电容板周围的静电场 便是无旋矢量场的一个例子。

两块电容板周围的静电场 便是无旋矢量场的一个例子。

无旋场存在一个标量势,由此可以得到电势 的定义:

(3)

对于任何足够平滑的标量场 来说,总会满足以下矢量恒等式,确保电场为无旋场:

(4)

电势前面的负号是传统约定。

显示在 COMSOL Multiphysics 中建模的电势场的图像。

两块电容板周围的电势场

两块电容板周围的电势场

通过组合以上表达式,只用一个方程即可描述麦克斯韦静电方程中包含的信息:

(5)

由于此方程不能表示电介质材料,因此在工程领域的应用有限。为了解决这个问题,我们利用感应极化效应对该理论进行扩展。

电介质材料中的静电

理想化电介质材料的特点在于其中没有任何自由电荷,而只有束缚电荷。在微观层面,这些束缚电荷可以被外部电场所取代,从而产生感应电偶极子。这些感应电偶极子是成对的正负电荷,在某种程度上与电场方向一致,导致电介质材料内的电场与自由空间的电场不同。为了从宏观上描述这种现象,我们可以方便地引入极化矢量场 和极化电荷密度 ,其关系式为:

(6)

根据下式,极化效应会局部改变材料内部的电场:

(7)

或等价于:

(8)

在此基础上,我们可以引入一个新的基本量,即电位移场 ,定义为:

(9)

利用这一定义,静电方程(也称为高斯定律)可以变为:

(10)

为了充分描述静电现象,我们仍需保留电场无旋(法拉第定律)条件。由于此条件用电势来描述,因此静电方程组可以联立成一个方程:

(11)

介电常数大于周围环境的物体附近的电场。这两幅图显示位于两块电容板(未显示)之间,被空气()包围的电介质体()。顶部和底部电极分别具有正电位和负电位。左图用不同的颜色来显示电场 大小,并用箭头表示其方向。右图用不同的颜色来显示电位移场 幅值,也用箭头表示方向。红色和蓝色分别表示高低幅值。

介电常数小于周围环境的物体附近的电场。这两幅图显示位于两块电容板之间,被电介质材料()包围的气腔()。顶部和底部电极分别具有正电位和负电位。左图用不同的颜色来显示电场 大小,并用箭头表示其方向。右图用不同的颜色来显示电位移场 幅值,也用箭头表示方向。红色和蓝色分别表示高低幅值。

线性电介质材料

在静电学中,人们常常可以假设材料呈线性,这预示着极化矢量场与电场成正比:

(12)

其中比例常数 为电极化率。

当材料呈各向异性时,极化率可以是一个 3x3 的张量:

(13)

将其代入 的关系式中,得到:

(14)

我们还可以引入两个有用的新量:相对介电常数 和绝对介电常数

线性电介质材料最重要的本构关系假定为:

(15)

各向异性极化率对应于各向异性相对介电常数:

(16)

这意味着对于某些材料而言, 场可能不完全一致。

利用静电势,我们可以将线性材料中的静电基本方程写为:

(17)

材料界面的静电方程和边界条件

高斯定律和法拉第定律可以分别看作是为电场散度和旋度指定条件。根据亥姆霍兹定理,这可以确定电场所能达到的场强常数。顺便指出一点,由于这个未知常数,我们最终必须指定电势的地电平。在材料界面处,散度条件表示电场法向分量的条件,旋度条件表示电场切向分量的条件。材料界面表明存在不连续,为了方便理解要对边界施加何种条件,我们通常使用对应的积分形式。然后,通过分别采用闭合面的收缩极限(高斯定律)和封闭等值线的收缩极限(法拉第定律),使材料的界面形成封闭,导出边界公式。

下表对此进行了汇总:

方程名称 微分形式 积分形式 边界条件
高斯定律
法拉第定律(静电) , ,

其中, 是体积电荷, 是材料界面处的表面电荷。

左侧仿真显示理想导电金属物上的感应表面电荷密度,右侧仿真显示电势。在右图中,红色和蓝色分别表示正电势和负电势。顶板和底板均保持固定,但具有不同的电势。中间的闭合面具有感应产生的恒定浮动电势,由于对称性,其值为两块板的电位平均值。表面电荷密度的分布使每个金属表面均为等势面,这是高斯定律的一个推论。

通过文字表述来汇总这些方程的含义可以帮助你加深理解:

方程名称 微分形式 积分形式 边界条件
高斯定律 所有电场线都始于电荷,并终止于电荷。 通过闭合面的总通量等于其所包围的电荷。 材料界面的表面电荷等于位移场法向分量的跃迁。
法拉第定律(静电) 电场为无旋场。 电场守恒。 在整个材料界面上,电场的切向分量是连续的。

需要注意的是,对于时变情况,电场不再是无旋场,并且法拉第定律会得到一个与电磁感应对应的附加项。

显示具有相反电荷的球体的仿真图像。

绿色和蓝色球体内包围符号相反的两个电荷。电场通过青色通量线进行可视化。红色球体内没有包围电荷。高斯定律表明,通过绿球的电位移场通量等于所包围的电荷,蓝球也是同样的情况。对于没有包围电荷的红球,它具有与传出电场线数量相当的传入电场线,意味着其净通量为零。

绿色和蓝色球体内包围符号相反的两个电荷。电场通过青色通量线进行可视化。红色球体内没有包围电荷。高斯定律表明,通过绿球的电位移场通量等于所包围的电荷,蓝球也是同样的情况。对于没有包围电荷的红球,它具有与传出电场线数量相当的传入电场线,意味着其净通量为零。

静电能

电场中包含的静电能可以用许多不同的方式来表示。对于电介质,某一体积()内的静电能可以用场量表示为:

其中,静电能量密度定义为:

请注意,对于静电能量密度的定位,相关的物理说明比较有限(另请参见:The Feynman Lectures on Physics, Volume 2)。

另一个用体积电荷密度 和局部电势 来描述静电能的表达式为:

这两个能量表达式被证明是等价的。

在计算静电力和电容值时,静电能的概念非常有用。

发布日期:2019 年 2 月 14 日
上次修改日期:2019 年 2 月 14 日