通过搭接剪切试验估计超弹性材料参数

作者 Björn Fallqvist

Guest
2020年 9月 3日

今天的特邀博主是来自Lightness by Design 公司Björn Fallqvist,他讨论了超弹性材料分析的不同方法,包括搭接剪切试验和损伤模型。

本系列博文分两部分,本文为第一部分,介绍了一个简单的搭接接头剪切测试,用于确定聚合物的材料参数。第二部分文章将提出一个基于物理学的材料损伤演化规律。

背景介绍

许多软材料,尤其是橡胶和生物组织,它们的应力和应变之间的关系不是线性的,即使在小载荷下也是如此。这些聚合物材料的微观结构导致了它们的非线性行为。例如,在生物聚合物网之类的材料中,聚合物链是缠结在一起的,并且经常交联。宏观材料产生的响应取决于几种不同的机制,其中一种是由热交换引起的细丝滑动、细丝拉直产生的熵刚度和交联刚度(以及粘黏)。

聚合物类材料这种复杂的行为,导致我们经常使用的理想化线弹性材料模型是无效的,因此必须采用不同的建模方法。通常,我们选择超弹性模型来进行建模,模型中的应变能量密度函数用于表征材料的状态和相关的应力。

COMSOL中有多种超弹性函数可供选择的,无论哪种函数,分析都涉及确定至少一个材料参数。这些参数需要通过实验确定,我们之前的一篇博客文章对此进行了详细描述(参考文献1)。然而,通常不同变形状态的数据要么无法获取,要么获取成本很高。

简单的搭接剪切试验可用于确定聚合物的材料参数,接下来我们将对这种方法进行介绍。

超弹性材料建模

假设存在一个应变能量密度函数,我们可以使用此函数对超弹性材料进行建模:

\psi = \psi(\mathbf{F})

该函数是变形状态的函数,用变形梯度 \mathbf{F} 表示。

通过将 \psi 与右 Cauchy-Green 张量 \mathbf{C} 进行微分,可以得到第二 Piola-Kirchhoff 应力 \mathbf{S},然后将其转换为所需的应力状态。

\mathbf{S} = 2 \frac {\partial \psi}{\partial \mathbf{C}}.

一般来说,\psi 可以是控制各种机制的任意数量的内部变量的函数,例如,黏弹性行为和损伤。唯一的要求是这些变量必须满足热力学普遍性规律;即,耗散能必须大于或等于零。

通常,\psi 是一个包含许多材料参数的表达式,具体取决于模型的复杂性。在这篇文章中,我们使用了 Yeoh(参考文献2)提出的模型,它包含三个项:

\psi=c_1 (I_1-3)+c_2 (I_1-3)^2+c_3 (I_1-3)^3

其中,c_1, c_2c_3I_1 是材料参数,是右 Cauchy-Green 张量的第一主不变量 (\mathbf{C}
)。

许多超弹性材料表现出不可压缩的特性。在计算上,\psi 被分成等容和体积部分:

\psi=c_1 (\widehat{I_1}-3)+c_2 (\widehat{I_1}-3)^2+c_3 (\widehat{I_1}-3)^3+K/2(J-1)^2

\mathbf{C} 的第一不变量 I_1 被其等容对应项取代。最后一项取决于体积模量 K 和雅可比 J(即,右 Cauchy-Green 张量的第三主不变量)。为了模拟不可压缩性,为 K 分配一个足够高的值(通常约为剪切模量的 1000 倍)。

进行搭接剪切试验

使用放置在两个较硬的矩形条之间的样品进行搭接剪切试验。试验设置如图 1所示。

带有标签的搭接接头剪切试验示意图。
1. 搭接剪切试验。

将两个板水平拉开直到试样破裂,记录力-位移曲线。在这篇博文中,我们分析了一个黏合剂样品。

黏合性能

本文中用作示例的实验数据由 Lindhe Xtend AB 提供,在此表示感谢。Lindhe Xtend 开发了具有独特的侧向灵活性的假肢 Xtend Foot。侧向灵活性在所有表面上都具有完美的平衡性和稳定性,能让用户在户外和不平坦的地面上移动时获得更大的信心。它减少了用户对跌倒的恐惧,增强了他们自由行走的愿望,并提高了假肢使用者的生活质量。

Xtend Foot 的相关测试数据如下:

  • 黏合剂厚度:3mm
  • 试样和板的宽度:25mm
  • 板厚:5mm
  • 黏合剂试样长度:5mm
  • 测试温度:20°C
  • 位移速率:13mm/min

图 2为所记录力-位移曲线。

显示粘合剂材料的力-位移曲线的图。
2. 黏合剂的力位移曲线。

我们选择使用紫色曲线作为测试的基础。在更严格的分析中,我们可以确定一条平均曲线,但对于方法演示,一条曲线就足够了。该曲线表现出初始硬化和由于材料破裂而导致的软化。我们选择了一些点来优化,见表1。

位移 [mm] 力 [N]
2 577
4 1289
6 2230
8 3224
10 4060
12 4225
13.5 3150

1. 选定的数据点。

计算模型

几何模型

模型的几何结构是在 COMSOL Multiphysics® 软件中使用相关坐标的块几何工具构建的,见图 3。

显示搭接剪切测试模型几何的节点列表的屏幕截图。
搭接剪切试验模型几何示意图。

3. 模型的几何结构。

对这些块进行分区以便于划分网格。由于几何和载荷沿试样和板的长度方向对称,因此只需建立一半模型。

网格

如图4所示,优化方案中的网格特意进行了粗化。

搭接剪切试验模型的网格,从粗到细。
4. 模型网格。

通过扫掠建立外部板域和黏合剂域,连接到黏合剂的板域是用自由四面体网进行网格划分。因为这里我们寻找材料参数的结果是反作用力,所以粗网格是可以接受的。研究黏合剂中的详细应力/应变状态需要进行进一步的细化。

材料模型

板比黏合剂硬得多,可以认为是刚性的。在这里,我们对其施加了钢的材料特性(杨氏模量 210GPa,泊松比 0.3,密度 7850kg/m3)。Yeoh 模型的超弹性参数 c_1, c_2c_3 均设置为 0.1MPa。在材料模型公式中,使用了比例因子来执行简单的优化方案。在 COMSOL Multiphysics 中,材料参数和缩放因子 s_{f1yeoh}, s_{f2yeoh} 和 s_{f3yeoh} 被定义为参数。

为了便于后续建立损伤模型,我们在超弹性材料定义中使用了用户定义的应变能函数,见图5。

用于定义超弹性材料的设置窗口的屏幕截图。
5. 超弹性材料定义。

变量“omeg”用于修改应变能密度,稍后我们将对其进行解释。目前,\omega = 1

边界条件

由于模拟了一半的试样和板,因此沿中心平面应用了对称条件,如图 6 所示。

搭接剪切试验的超弹性模型的设置和图形窗口,应用了平面外对称条件。
6. 对称条件(平面外)。

指定试样的一端为固定约束,另一端指定为与时间相关的位移的函数,如图 7 所示。

超弹性模型板端面的固定位移图像。
板端面上规定位移的设置和边界条件。

7. 板端面的边界条件。固定约束(左)和指定位移(右)。

研究类型和优化设置

由于损伤模型是基于速率形式的常微分方程建立的,因此使用瞬态研究进行求解。对于超弹性模型,稳态研究就足够了。

对现有的材料数据进行优化,需要我们定义在每个时间步长上所施加的与位移相对应的反作用力。因此,我们必须对指定的位移设置启用弱约束,并将其合并到表面上,如图 8 所示。第二个原因是我们只对几何的一半进行了建模。

显示如何为指定位移启用弱约束的屏幕截图。
显示如何在规定位移的表面上启用积分的屏幕截图。

8. 优化反作用力的定义。

接下来,我们定义一个具有全局最小二乘目标的 优化 节点,见图 9。

COMSOL Multiphysics 中优化节点设置的屏幕截图。
9. 优化设置。

由于我们使用瞬态求解器进行求解,因此必须使用图 7 中定义的变形率将表 1 中的位移转换为第一列中的时间。对纯超弹性模型的第一次分析,我们仅使用前三个点,因为下一篇博客里对软化过程需要更复杂的分析。

最后,我们定义一个瞬态研究并插入一个优化 节点,见图 10。

优化节点的设置窗口的屏幕截图,包括时间相关研究的选项。
10. 研究步骤中优化 节点的定义。

我们对三个比例因子进行了优化,它们参与对超弹性材料模型定义中材料参数的缩放作用。唯一的限制是 s_{f1yeoh}必须是非负的,因为它会缩放剪切模量。为了在求解过程中跟踪缩放参数的值,可以方便地定义它们的全局变量探针。这样就会把它们储存在探测表中以进一步使用。

要定义一项使用优化参数分析的研究,只需要创建一个新研究并将求解的变量值设置为之前的解,如图 11 所示。

使用优化参数值时的研究设置屏幕截图。
11. 使用优化的参数值设置分析。

结果:网格的位移和影响

变形图与所选的材料参数无关,如下图 12 所示,用于直观的显示分析结束时的状态。

搭接接头剪切试验模型的模拟结果,显示变形。
12. 分析结束时模型的变形。

如前所述,网格会影响应变状态。我们还对精细化模型进行了分析(没有损坏),如图 13 所示。

具有精细网格的搭接剪切试验模型。
13. 细化的模型网格。

图 14 显示了第四个数据点 (8 mm) 处的黏合剂域中的第一主应变。

模拟结果显示粘合剂域中未精化的第一主应变。
超弹性材料模型的粘合域中细化的第一主应变。

14. 黏合剂域中的第一主应变,未精细化(左)和精细化后(右)。

可以看出,细化模型中的应变值要高得多,未细化模型中没有明显的梯度变化。分析过程中应变的最大值如图 15 所示,显示反作用力是为了表明网格细化不会影响它的值。

粘合域的细化和未细化网格模型的最大主应变和反作用力图。
15. 黏合剂域中的最大主应变和反作用力。未细化和细化的网格结果。

结果:优化超弹性模型的材料参数

材料参数及其优化后参数的总结,如表2 所示。

缩放参数 初始值 [-] 优化值 [-]
s_{f1yeoh} 7 6.56
s_{f2yeoh} 0.09 0.34
s_{f3yeoh} 0.03 -0.0072
最小二乘目标 [N2]
1.28e-14

2. 初始和优化缩放和材料参数;无损伤。

产生的力-位移曲线如图 16 所示。

显示超弹性材料模型的力-位移曲线的图。
16. 超弹性模型的力位移曲线。

可以看出,在材料软化之前,Yeoh 模型预测结果与试验数据具有极好的一致性。

敬请关注

接下来的博文中,我们将为材料提出基于物理学的损伤演化定律,该定律容易实施,并结合了材料软化(单调和循环加载)、蠕变和循环过程中滞后曲线的稳定。

敬请关注本系列博客的第 2 部分内容。

关于作者

Björn Fallqvist 是 Lightness by Design 公司的一名顾问,从事基于数值分析的产品开发工作。他于 2016 年获皇家理工学院博士学位,致力于开发本构模型以捕捉生物细胞的机械行为。他的主要专业兴趣是材料表征领域,专长是使用各种材料模型描述物理现象。

参考资料

  1. C. Kumar, “通过各种超弹性材料模型对测量数据进行拟合“, COMSOL Blog, 2015.
  2. O.H. Yeoh, “Some forms of the strain energy function for rubber”, Rubber Chemistry and Technology, 5, vol. 66, pp. 754–771, 1993.

评论 (2)

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昊 金
昊 金
2022-10-05

Hello, Prof. Björn Fallqvist! I am doing tensile test simulations and it was very inspiring to see your blog. Could you send me your COMSOL model for study? I would be very grateful if you could. This is my email 102010127@hbut.edu.cn . Thank you!

Hao Li
Hao Li
2022-10-10 COMSOL 员工

您好,此模型是作者所有,我司无法提供。
该篇博客中已经详细说明了建模过程,您可以模仿此博客进行建模。
若在建模过程中遇到问题可以使用技术支持,网址如下:
http://cn.comsol.com/support

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