在之前的一个关于弱形式的博客系列中，我的同事 Chien Liu 介绍了稳态问题的弱形式以及在 COMSOL Multiphysics 软件中的实现方法。本篇博文是弱形式系列的扩展，介绍了如何使用弱形式偏微分方程 接口求解瞬态问题。下面我们将演示在 COMSOL 中如何操作。
问题举例:一个瞬态偏微分方程
让我们考虑由一维瞬态偏微分方程给出的初始边界值问题
(1)
这个微分方程有边界条件
(2)
和
(3)
以及初始条件
(4)
这个方程只有一阶时间导数，因此，我们只需要为主要变量指定初始值。对于具有二阶时间导数的方程，我们还必须提供速率的初始条件。
等式2 中的边界条件是一个 Neumann 条件，通常用于描述机械载荷或热通量。零值意味着没有载荷，或者相当于绝热层。等式3中的边界条件是一个 Robin 或混合条件，通常用于描述弹簧边界或对流热通量(参见上一篇博文中的 Neumann 条件和 Robin 条件部分。
获得瞬态问题的弱形式
推导瞬态偏微分方程的弱形式，与前一博客系列的第 1 部分中稳态问题相同的步骤相同。大致是，首先将偏微分方程写成，对于本文讨论的问题，我们有
接下来，在弱形式上执行；也就是说，将这个方程和任何测试函数 (也称为加权函数)的乘积进行积分都应该为 0。第三，应用导数的乘积法则和散度定理在加权积分中减少(削弱)因变量的最高阶空间导数。在一维中，这可以归结为分部积分，从而给出了弱形式。
因此，将 (1) 乘以试函数并在域上积分，我们得到
(5)
通过对具有最高阶空间导数的乘积应用分部积分，我们得到
(6)
对于这种弱形式，我们可以结合边界条件来获得
(7)
请注意，时间导数的存在并没有改变我们导出弱形式的方式。在上面的推导中，时间偏导数只是乘以加权函数。弱形式的积分是空间积分，因此，我们对时间导数不做任何分部积分。加权函数只是空间坐标的函数，而未知是空间和时间的函数。
在弱形式 PDE 接口中定义问题
在 COMSOL Multiphysics 中的弱形式偏微分方程 接口中定义瞬态偏微分方程的弱形式包括以下三个步骤:
- 输入域贡献
- 输入边界条件
- 定义初始条件
在弱形式 PDE 1 节点的设置 窗口的输入域的弱表达式 字段。对于我们的问题，这是 test(T)*Tt + test(Tx)*Tx，其中 test(T) 表示加权(试)函数，它对应于因变量。还有 Tt 和 Tx 分别是因变量的时间和空间偏导数。
域定义。
可以使用内置边界条件或边界处的弱贡献来定义边界贡献。出于教学演示上的原因，我们将使用后者，尽管今天的问题中的边界条件可以使用内置的 通量/源 节点。
边界条件的实施。
来自左边界的贡献为零；我们不用做任何操作。右边界的贡献是弱形式方程 (7) 的第二项，可以按下面的方式输入。在边界选择 窗口中选择点 2 并在 弱表达式 字段输入表达式 test(T)*(T-1)。
使用 弱贡献节点完成边界项的定义。
最后一个部分是初始值。我们的问题只需要因变量的初始值。因此，我们只需要在初始值的设置 窗口中填写第一项。在我们的例子中，我们正在考虑一个统一的初始值。如果不是这个例子，可以键入包含空间坐标的表达式或函数，而不是数字。
初始条件的执行。
现在，我们已经定义了偏微分方程、边界条件和初始条件，剩下要做的就是在研究设置中定义求解此问题的时间间隔，并点击计算 按钮。模拟运行的时间范围为，不同时间实例的解决方案如下所示。
在不同时间点沿域的温度变化。
推导的弱形式背后的内容
我们在上面推导出并在 COMSOL Multiphysics 接口中定义的弱形式是一个连续问题。该函数基于在弱形式 PDE 界面的设置窗口的离散化部分中选取的形状函数。在内部，将使用有限元插值函数进行离散化，插值函数阶次在弱形式偏微分方程 接口的设置 –离散化 部分定义。例如，对于拉格朗日插值函数，解近似为
这里，N 是有限元网格中的节点数，\phi_i, i=1\dotsc N 是定义的形(插值)函数。
如果我们把上式代入弱形式，我们会得到关于节点解的常微分方程组。所有的空间导数都指向已知的形函数。这个常微分方程组由 COMSOL Multiphysics 内置的时间积分算法求解。(注意：我们的问题定义中不需要做任何时间离散化；这将在内部特别处理。这部分仅供参考。) 如果问题是稳态的，方程组是节点未知数的代数方程组。这一次，节点未知数不是时间的函数。要了解有关离散化的更多信息，请查看以下关于形状函数和相关离散化的博文。
关于获得瞬态问题弱形式的总结性思考
在这篇博文中，我们演示了如何使用弱形式偏微分方程 接口求解瞬态 PDE 方程。瞬态问题的弱形式的推导过程与稳态问题完全相同，并且也使用相同的接口。我们只需要指定问题的连续性。在内部，空间离散化是基于弱形式偏微分方程接口设置 窗口中的离散化 的定义，时间离散化是根据软件选择的默认时间积分算法来完成的。如果我们有一个好的理由，我们可以转到求解器配置 节点。问题的定义保持不变，因为我们指定的是连续性，而不是离散性。
进一步阅读
在这个博客系列中了解关于弱形式的更多信息:
评论 (4)
Zheng SiZheng
2021-08-01请问如何在PDE弱形式的模块下，使用用户自定义材料？
yongchao wang
2021-08-11 COMSOL 员工Zheng SiZheng, 您好！
可以参考博客：https://cn.comsol.com/blogs/brief-introduction-weak-form/ 中的热通量方程，方程中的截面积及热导率的乘积定义为1，对于一维实际情况q(x)=-A*k*ΔT，其中A为横截面积，k为导热系数；此方程右侧写成弱形式为-A*k*Tx*test(Tx），此时材料的属性已经在弱形式中。弱形式中相应的变量可以为自定义的材料属性。
玉平 姚
2022-03-28请问，在PDE模块里面如何添加周期性边界条件呢？比如floquet周期性边界条件
Kaixi Tang
2022-04-02 COMSOL 员工你好，软件内周期条件中是有内置的floquet周期选项的，博客下不提供PDE技术支持，谢谢。