柏拉图固体以柏拉图的名字命名，它是规则的凸多面体，由四面体、立方体、八面体、十二面体以及二十面体组成。自远古时代以来，由于其属性和历史意义，人们对著名的柏拉图固体进行了研究。自 COMSOL Multiphysics® 5.5 版本起，在零件库中提供了柏拉图固体。在此博客文章中，我们研究柏拉图固体背后的故事，并展示如何通过内切球的半径来创建一个十二面体。
柏拉图固体：历史、几何与现代的结合
柏拉图出生于公元前430年左右的雅典，是有史以来最著名的哲学家之一。作为苏格拉底的学生和亚里斯多德的老师，他创立了以科学为中心的学院（通常被称为第一所西方大学），并通过 The Republic 等标志性著作为哲学做出了贡献。在 Timaeus 一书中，柏拉图揭开了四种经典元素（火、土、空气与水）的神秘面纱，他将每种元素与一种和它们的原子形状相似的固体相连接。火与四面体相关，土与立方体相关，空气与八面体相关，水与二十面体相关。最后，十二面体被认为是组成宇宙的星座。从那时起，这个著名的多面体集合就被称为柏拉图固体。
1619年 Johannes Kepler 在 Harmonices Mundi 中绘制的柏拉图固体及其各自的元素。左起：四面体，立方体，八面体，二十面体 和十二面体。图片源自： Wikimedia Commons 。
柏拉图固体是三维、凸形的规则固体。在形状、大小、角度和边缘方面，它们具有相同的多边形面，并且在每个顶点处都有相等数量的面。只有四面体，立方体，八面体，十二面体和二十面体满足这些要求。柏拉图固体的名称基于每个实体所构成的面数。
根据它们的对称性，我们可以创建出不同的柏拉图固体和球体的组合，具体来说就是外切球、内切球和中球。外切球 是具有半径的球体，它可以让创建的柏拉图实体恰好装在球体内部。相反的，内切球 和中切球 恰好可以装在柏拉图固体内部。内切球面与柏拉图实体的每个面都相切，而中切球的各面与柏拉图固体的各边相切。上图中 最后一个图像显示了一个内切球的示例。
柏拉图式固体的完整集合：四面体（左上），立方体（中），八面体（右上），十二面体（左下）和二十面体（右下）。
除了具有自然美观性，在科技中柏拉图固体还有许多有趣的用途。例如，四面体经常用于电子产品中，二十面体已被证明在地球物理建模中很有用，带有多面体的扬声器被用于向各个方向辐射声能。尽管在室内声学测量中，作为全向声源的十二面体似乎更可靠，但在某些情况下，四面体扬声器具有更好的辐射均匀性。
瑞典斯德哥尔摩皇家理工学院附近的 Tekniska Högskolan 地铁站的屋顶上悬挂着的十二面体。图片由 ArildVågen 提供。经 CC BY-SA 4.0许可，获得授权。
现在，让我们看看如何在 COMSOL Multiphysics® 软件中使用内切球体创建一个十二面体。
使用COMSOL 零件库中的内切球体创建一个十二面体
从 COMSOL Multiphysics® 5.5 版本开始，您可以根据相关的参数，在特定柏拉图固体的四个变体之间进行选择。
在零件库的 COMSOL Multiphysics 中找到柏拉图式固体。可供选择的部件可以提供变化的边长、半径、圆周半径或中半径。
向几何图形中添加半径部分变量将生成一个十二面体，其半径的默认表达式为 sqrt（（25 + 11 * sqrt（5））/ 10）/ 2，以原点为中心。该表达式将自动给出的边长为 1m 。您可以在 “设置 ” 窗口中轻松更改输入参数、工作平面、位移和旋转、以创建自定义的十二面体。下图显示了十二面体的示例，其中半径设置为1 [m]。十二面体的边长是根据半径的表达式自动计算的。
可以更改十二面体的半径、工作平面、位移和旋转。
现在，让我们在十二面体中构造一个球体。即一个内切球体。您可以适当地调整属性，以将球体放置在柏拉图固体的内部，并确保球体的半径和内半径相等。
通过在几何图形中添加一个球体来创建内切球体。
了解更多：如何在 COMSOL Multiphysics® 中构建几何图形
无论是为仿真建立复杂的几何图形，还是为了教学目的研究柏拉图固体，这些内置零件及其功能都有很多可能性。COMSOL Multiphysics 中的零件库还包含其他可以简化仿真的有用零件，其中某些零件是特定于附加模块的。同时，我们也可以创建自己的零件并将其添加到用户定义的零件库中，如博客文章“ 在 COMSOLMultiphysics® 中使用几何零件和零件库”中 的示例。
请查看以下其他资源，以获取更多有关创建几何的信息：
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