COMSOL 博客

基于磁场公式的激励仿真

作者

Walter Frei

2026年 4月 27日

在使用 COMSOL Multiphysics^® 软件的附加模块 —— AC/DC模块进行建模仿真时，共有五个物理场接口可用于模拟时变磁场与感应效应。每个接口求解不同形式的麦克斯韦方程组，且具备各自独特的建模优势。本文将深入介绍其中的磁场公式（MFH）接口，并讲解如何利用该接口对感应现象进行建模分析。

不同公式概览

AC/DC 模块中可用于求解时变磁场的五种接口如下：

磁场接口
磁场和电场 接口
磁场，仅电流 接口
旋转机械，磁 接口
磁场公式 接口

这其中的第一个磁场接口，是目前应用最广泛的接口，也是大多数感应仿真建模的核心工具。该接口可求解磁矢势（即 \mathbf{A} 场），并提供多种便捷的结构激励方式，包括：集总端口边界条件、线圈域条件以及背景场激励。绝大多数仿真用户实际建模时都会、也理应从这一接口开始搭建模型。

接下来，磁场和电场 接口会同时求解 \mathbf{A} 场和电势（即 \mathbf{V} 场），这构成了\mathbf{A}–\mathbf{V} 耦合公式，同时引入了额外的计算复杂度。这种额外的计算成本主要在以下两种场景下具备合理性：

求解磁流体动力学模型
在工频（line frequencies）下求解时，此时你需要非常精确地模拟电介质内部以及界面处的损耗

而 磁场，仅电流 接口则仅适用于不存在磁性材料的情况。它主要用于计算部分电感，同时也可以求解 \mathbf{A} 场，但采用的是拉格朗日单元而非旋度旋度单元，因此计算成本更低。

顾名思义，旋转机械，磁 接口是专门用于对电机和发电机进行建模的。这种公式通过求解磁矢势、磁标势（即 V_\text{m} 场），实现各部件之间的相对旋转与运动，但这也会带来额外的计算成本和复杂度。如需入门学习，可参考我们的电机教程系列。

这些公式均由麦克斯韦方程组推导得出，且都用于求解 \mathbf{A} 场，既可以单独求解该场量，也可以结合其他场量进行求解。与之形成对比的是磁场公式接口，该接口同样源自麦克斯韦方程组，但它求解的是磁场（即 \mathbf{H} 场），其在时域中的具体形式如下：

\nabla \times \left( \frac{1}{\sigma } \nabla \times \mathbf{H} \right) = \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}

在频域中的形式如下：

\nabla \times \left( \left( \sigma + j \omega \epsilon_0 \epsilon_r \right)^{-1} \nabla \times \mathbf{H} \right) = j \omega \mathbf{B}

这些方程的解同样也是麦克斯韦方程组的解，那我们为何要采用这种方式，而不采用 \mathbf{A} 场公式呢？原因至少有两点：

在处理非线性材料时，该公式既可以引入特定类型的非线性特性——比如超导体中产生的电流非线性；同时也提供了更简便的方式来输入与磁场相关的非线性特性。
\mathbf{H} 场公式允许采用多种不同的系统激励方式。根据建模需求，可简化模型设置过程。

接下来，我们将在频域建模的背景下，对第二点进行更详细的探讨。我们要介绍的大多数频域激励方式同样也适用于时域，当然也会有少数例外情况，到时候我们会专门指出来。

理解常见的边界条件

磁场公式 接口，或 \mathbf{H} 场接口，包含四项边界条件。这些边界条件与 \mathbf{A} 场公式共用且物理释义完全一致：

磁绝缘 边界条件：这通常被理解为理想导电材料的边界。如需了解该条件的其他多种解读方式，可参阅我们学习中心的相关文章：“理解磁绝缘边界条件”。
理想磁导体 边界条件：该条件主要可解释为非导电介质的边界条件，或是一种对称条件。更多详情请参阅我们的博客文章：“利用对称性简化磁场建模”。
周期性 边界条件：该条件会施加周期性约束，适用于带扭转结构等场景（如海底电缆）。
阻抗边界条件：该条件用于模拟与建模空间相邻的有损材料。它属于频域条件，仅适用于趋肤深度远小于部件尺寸的场景。更多详情请参阅我们学习中心的文章： “电磁场中导体的网格划分与几何建模的方案介绍”。

这些边界条件本身并不会产生激励效应，但它们可以构成螺线管电流通路的一部分，而该通路是构建可求解模型所必需的。也就是说，即便这些条件不会激发电流，也能够定义电流可以流通的路径。

理解磁场公式接口专用的激励边界条件

可用于施加激励、且为磁场公式 接口所特有的三类边界条件如下：

切向磁场 边界条件：用于施加非齐次狄利克雷边界条件。
切向电场 边界条件：引入了非齐次诺伊曼边界条件。
表面磁流密度 边界条件：这同样是一种非齐次诺伊曼边界条件，但可以使电场在模型区域的内部边界处产生跃变。

顾名思义，这些边界条件涉及所施加边界上场的切向分量。若入射场完全垂直于边界，其贡献等效为零。也就是说，切向磁场 边界条件在切向分量为零时，等同于理想磁导体 边界条件；而 切向电场 边界条件在无切向分量时，则退化为 磁绝缘 边界条件。只有当电场或磁场存在平行于边界的切向分量时，这类边界条件才能对系统产生激励作用。

为帮助深入理解这些激发现象，我们将采用同轴电缆模型作为示例进行分析。需要说明的是，尽管同轴电缆看似结构简单，但它或许是学习电磁学的最佳方式之一，尤其是电场和磁场随半径变化均存在解析解：

E(r) = \frac{V_0}{\ln\left(\frac{r_{outer}}{r_{inner}}\right)r}

H(r) = \frac{I_0}{2 \pi r}

电场沿径向向外指向，磁场绕中心做环形分布。我们将首先利用这些表达式来激励模型，并以此为基础继续后续的推导。

引入切向电场下的电势差

首先，我们在模型一端的内外导体之间施加一个电势差，并将另一端短路。远端的短路是通过磁绝缘 边界条件来设置的，而同轴电缆外部的绝缘空间则采用 理想磁导体 边界条件来进行建模。为了施加电势差，我们在末端的横截面上应用 切向电场 边界条件，将导体内部的电场设为零，并使用上述方程来定义电介质环形面上的电场分布。

结果如下图所示。电流流经内导体和外导体，在工作频率下，体积损耗分布图中可以明显看出趋肤效应。电场、磁场以及功率流的矢量分布图，都与我们预期中同轴电缆短路段的表现相符。功率主要沿着电缆的轴线方向传输，并沿长度方向均匀地耗散为热能。远端的短路意味着那里的电场为零。

同轴电缆一端施加电场激励、另一端短路，左侧为发热分布图，右侧为电场（红色）、磁场（绿色）以及功率流（蓝色）分布图。

请注意，虽然电介质内部的损耗很小，但并不为零。这是因为 \mathbf{H} 场公式在所有计算域中都需要设置一个非零电导率，除非在极高频率下进行频域求解（此时位移电流占据主导作用）。该电导率通常被称作数值稳定项。采用直接求解器可将该稳定电导率设置得非常小。本文采用特定的电导率表达式，使绝缘体中的趋肤深度约为计算域尺寸的 1000 倍。此外，对于包含数值上不可忽略的感应效应的模型，无需进行规范固定，绝大多数时域和频域仿真场景均属于此类情况。

需要着重说明的是，尽管同轴电缆属于传输线的一种，但该模型中不存在功率传输过程。恒定电场会输入能量，且所有能量都会在建模空间内完全耗散为热能，既无能量传输也无能量反射。若要引入相关传输与反射特性，我们将介绍下一种边界条件类型。

使用表面磁流密度边界条件

为了给同轴电缆两端的非建模空间设置边界，我们需要引入阻抗这一概念 —— 即电场与磁场之间的关联关系。在同轴电缆内部，其阻抗为：

Z_{coax}=\frac{Z_0}{\sqrt{\epsilon_r}}

据此我们可以定义表面磁流密度为：

\mathbf{J}_{ms}= Z_{coax}\mathbf{H}_t

其中，\mathbf{H}_t 为 \mathbf{H} 场沿边界的切向分量。这一边界条件可用于对线缆两端的阻抗进行建模。我们可以在此基础上进一步拓展，同时引入源项：

\mathbf{J}_{ms}= Z_{coax}\mathbf{H}_t+2\left( \mathbf{n \times E}_0 \right)

系数为二的原因在于，源项会同时激发向建模区域内部传播的信号以及向边界处传播的信号。该二倍系数的前提是建模空间的阻抗与边界所表征的传输线阻抗相匹配，因此任何阻抗失配都会产生一定的反射现象。这一特性与电缆型集总端口边界条件有一定相似性。不过，磁场接口中的 集总端口 边界条件通过面电流进行激励，而 磁场公式 接口则通过电场进行激励，因此二者并非完全等效。需要注意的是，表面磁流密度 边界条件会与其他诺伊曼条件共同作用，因此可通过单独的特征设置，将源项作用于阻抗匹配项中。

两端阻抗匹配、单端激励的同轴电缆，其发热分布（左侧）以及电场、磁场与功率流分布（右侧）示意图。

从上述图中可以看出，功率正在通过电缆传输，因此我们目前得到了一个双端口器件模型。但需要着重说明的是，\mathbf{H} 场公式仅在频域形式下包含位移电流的贡献。时域形式仅考虑感应电流与传导电流，因此它不属于全波公式，而是 准静态 公式。若需要对瞬态波动现象进行建模，可使用 电磁波，瞬态 接口，一个 \mathbf{A} 场公式，相关方法可参考学习中心文章: “模拟电容放电”。

然而，有时我们并不关心功率流向，只关注导体内部的损耗。例如在同轴电缆中，大部分损耗都集中在内导体上，因此我们可能只需要分析内导体，而忽略外导体的损耗。我们也常常需要假定电流为恒定值。针对这种情况，我们会采用最后一种边界条件，即 切向磁场 边界条件。

使用切向磁场施加电流

回顾我们推导出的磁场解析表达式可以发现，我们能够精确确定内、外导体之间的磁场分布，且该表达式适用于同轴圆柱的切向磁场分量。基于此，我们可将模型简化为内导体外围的圆柱形空间，并在其外表面施加 切向磁场 边界条件。从物理概念层面来讲，这等同于施加切向面电流密度，因此我们将其与上下端面的 磁绝缘 边界条件配合使用，从而形成穿过内导体的螺线管式电流通路。通过在外部施加磁场，可在导体内感应出电流。不过在使用该方法时需要稍加留意，因为这会产生一个特殊的物理效应。

在外部施加特定切向磁场激励下的同轴线中的表面电流与发热分布图（左），电场磁场及功率流分布图（右）。激励边界处的网格与外加切向磁场所对应的电流流向保持一致。

我们所施加的磁场是精准的，但施加磁场所依托的有限元网格，对圆柱体的几何形态描述存在缺陷。几何离散化误差始终无法完全避免，这会导致有限元空间中的建模几何体出现尖角与锐边。这些结构会产生局部奇异点，进而造成边界附近的场量呈现出明显的杂波扰动。通过让网格与电流流向保持一致，便可规避这一问题，如上图所示。

该方法还有另一个值得注意的特性。从曲线图中可以看出，此时电场与电缆轴线保持平行，不再在内、外导体之间传播，且功率流向朝向中心向内。这是一种完全不同类型的激励方式，也有观点认为这类激励在物理上无法实现。但从导体内部的电流分布、磁场分布以及发热情况来看，该方法仍是一种实用的建模手段。

至此，我们已经探讨了三种不同的结构激励方式。简要总结如下：

切向电场 边界条件可用于在器件的导体之间施加电势差。
表面磁流密度边界条件可对带有指定阻抗以及电势源项的边界进行建模。
切向磁场 边界条件可用于施加已知电流。

虽然我们此处研究的是简单的几何结构，但只要牢记以下要点，完全可以将相同的方法应用到更复杂的结构上：

应在 TEM 型传输线的横截面处，或模型中可合理引入无旋场假设的某一区域，对电场进行指定。
位移电流在频域中被考虑，而在时域中不予考虑。
磁场激励边界具有不同的物理释义，但在发热效果上结果等效，且需要进行精细网格划分。

接下来，我们将介绍另外两种对此类模型进行激励的方式，这两种方式是 \mathbf{H} 场公式所独有的。

对闭合路径内的电流施加约束

COMSOL Multiphysics^® 仿真架构的核心功能之一，是能够自动解析用户界面（UI）中输入的符号表达式。这不仅包含符号微分运算，还可拓展至约束消去运算。尽管完整地阐释其工作原理超出了本文范畴，但我们将介绍如何在用户界面中实现该功能。

回到此前仅包含同轴电缆内导体与外围电介质的模型，现在在内导体的中点位置引入一条棱边。我们需要设定特定总电流沿导体流动的边界条件，根据安培定律可知，磁场沿闭合路径的线积分等于穿过该路径所围面积的电流：

\mu_0 I = \oint \mathbf{B} \cdot d \mathbf{l}

或者，对于非磁性材料：

I = \oint \mathbf{H} \cdot d \mathbf{l}

我们可以借助积分耦合来计算电流，再利用 全局约束功能设定条件，使该积分值等于目标电流。后续其余所有计算均可由 COMSOL^® 自动完成，我们可直接查看求解结果。

磁场公式 接口中 全局约束功能的截图，该功能通过对一系列边进行环路积分计算，强制约束电流方向。

同轴电缆受回路电流全局约束激励下，发热分布图（左侧）、电场磁场及功率流向图（右侧）。

可以观察到，当前的电流分布与发热分布和之前的模型吻合，磁场也与理论解析预期一致。然而，电场与功率流向的结果仍需我们审慎看待。功率流向表明模型边缘表现为一种内部线源，但这种情况在物理上无法实现，因此对应的电场不具备实际物理意义。尽管如此，该模型得到的电流分布及温升结果仍具备可用价值。同时可以注意到，激励边缘周边的温升分布变化平缓。

该方法的优势在于，能够在任意结构中激励出电流，无需在仿真域的边界设置任何激励源。也就是说，我们可以在仿真域内部完整激励出闭合导电回路，也可以在不同导体中分别激励出不同电流。

耦合磁场公式与磁场，无电流接口

我们将要介绍的最后一种激励方式需要用到另一个物理场接口——磁场，无电流 接口。该接口用于求解磁标势（即 V_\text{m} 场），顾名思义，它在传统意义上适用于对无电流存在的系统进行建模仿真。

然而事实表明，当与 \mathbf{H} 场公式结合使用时，V_\text{m} 场接口可借助 磁标势不连续性 边界条件引入激励。该边界条件必须施加在表征闭合电流回路横截面的边界上。电流既可以在采用 \mathbf{H} 场建模的导电域体积内流动，也可沿V_\text{m}场接口的 磁绝缘 边界隐性流动。

采用\mathbf{H}–V_\text{m}方法激励的同轴电缆示意图。磁标势不连续性边界（绿色）激励电流沿涡旋路径流经两个导电区域（灰色），该部分采用 \mathbf{H} 场公式进行建模；同时电流沿建模域顶部和底部的磁绝缘 边界（黄色）流动。箭头直观展示了电流环绕激励边界形成的回路走向。

\mathbf{H}–V_\text{m} 公式的自由度数少于 \mathbf{H} 场公式，但计算成本可能更高，这是因为所得系统矩阵为非对称矩阵，通常需要采用直接求解器。该公式在概念层面、有时在几何层面均较为复杂。其优势在于可将自由空间区域建模为零损耗区域，但这些区域之间不存在电容耦合。实际上，在非导电区域中仅求解磁场，因此电场以及对应的功率流均无定义，仅能提取导体内部的磁场、电流及损耗参数。

采用 \mathbf{H}–V_\text{m} 公式建模的同轴电缆的发热分布图（左侧）与磁场分布图（右侧）。

其他可能性简要概述

采用 \mathbf{H} 场公式构建的这类激励方法可处理的低频感应建模类型，其复杂程度近乎无穷。需要着重强调的是，能够用这些方法实现并不代表就理应采用这些方法。这类问题非常需要结合具体工况逐一判定。尽管如此，下面简要列举几个可运用这类方法的其他应用实例。

扭转电缆单元模拟

周期性 边界条件可施加在几何形状相同但彼此存在扭转错位的面上。该边界条件在扭转海底电缆案例模型中得到了演示，并且可以与通过全局约束激励电流的方法结合使用。

一个扭转三相电缆的四分之一区段的单元模型。该建模区段的仿真结果可沿电缆长度方向周期性排布，以展示发热分布与磁场分布。

模拟对称线圈

在利用对称性进行建模仿真时，在磁场接口中采用集总端口激励通常并不实用，一般需改用线圈域条件。该方式在高频场景下存在弊端，原因是线圈的趋肤深度需要进行极其精细的网格剖分。若改用 磁场公式 接口，可通过阻抗边界条件对驱动线圈建模，并借助全局约束法施加电流。

采用 \mathbf{H} 场公式（左）与\mathbf{A} 场公式（右）建立感应加热材料坯料的对称模型。两种方式下的沉积热量高度相近。

模拟交流电磁场中的实心导电部件

当导电部件处于交变（AC）磁场中时，材料内部会产生感应电流。只要该部件不存在能够阻隔部分磁场的孔洞，就可采用耦合 \mathbf{H}–V_\text{m} 公式对此进行建模分析。同时有严格要求：导电材料不得构成闭合回路。

采用 \mathbf{H}–V_\text{m} 公式时，所得系统矩阵为非对称矩阵，因此尽管自由度数量更少，但其计算成本的增长速度，仍会高于在全域采用 \mathbf{H} 场或 \mathbf{A} 场公式的情况。故而该公式仅适用于部件体积占整体建模体积比例极小的场景。

一段螺旋状导线暴露在交变磁场中。注意该导线未构成闭合回路。在导线内部对 \mathbf{H} 场进行求解，并通过施加在周边空间求解出 V_\text{m} 场上的边界条件实现激励。

结束语

本文展示了几种激励H场公式以求解感应类问题的方法，当然这些技术还有更多变体形式。虽然上述算例均在频域中求解，但在遵循前文所述注意事项的前提下，这些方法同样适用于时域分析。掌握这些方法后，我们便可借助 AC/DC 模块进一步探究电磁建模的各类应用可能。

还需注意，这些示例模型很多都是通过直接求解器完成求解的。值得一提的是，COMSOL® 6.4 版本中内置的 NVIDIA CUDA^® 直接稀疏求解器（NVIDIA cuDSS），能够以前所未有的更短的时间处理规模越来越大的复杂仿真问题。

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