对特斯拉微阀进行形状和拓扑结构优化

在设计阶段的早期，我们可以使用拓扑优化来获得设计装置几何形状的灵感，例如，设计特斯拉微阀。从 5.4 版本开始，COMSOL^® 软件引入了密度模型特征，可以简化这种优化问题的设置。在这篇博文中，我们展示了如何使用 COMSOL^® 5.5 版本的形状优化功能来改进由更复杂的拓扑优化结果启发的简单设计。

特斯拉阀的机理

特斯拉阀是具有大的各向异性流动阻力的装置，也就是说，与其他方向相比，在一个方向上推动流体流动明显更容易。因此，由于缺乏移动部件，这些装置可以作为稳固的泄漏阀使用。

我们可以考虑让两个流动方向的压降相同，并优化流速比，但根据具体情况，固定流速比和优化压降比可能更有意义。例如特斯拉微阀优化教程模型。

因此，被最大化的数字是双极性 Di，其定义为

其中，\Delta p_{\leftarrow} 和 \Delta p_{\rightarrow} 是两个流动方向的压降。

特斯拉阀的性能是利用惯性影响的非线性本质，所以如果流速很小，惯性影响将消失，那么物理场就变得线性。在这样的流态下，阀将不工作，即双极性将是 1。非线性的强度可以用雷诺数 Re 来量化表示，定义为

其中，\rho 是密度，\mu 是黏度，U_\mathrm{in} 是特征速度，D 是特征长度尺度。

雷诺数超过 1000 往往会产生瞬态流动，而对于低于 10 的雷诺数，惯性效应太小。因此，为了模拟一个具有显著惯性效应的静止流动，选择了雷诺数为 100 进行优化。然而，这并不意味着如果增加流速，装置的性能会变差。

在 COMSOL Multiphysics^® 中进行拓扑优化

拓扑优化可以将一个域划分为固体域和流体域。当使用密度法时，这是通过内插材料参数来实现的。这意味着固体域被近似看作具有非常低渗透性的海绵。因此，设计变量 0\leq\theta_c\leq1 控制着阻尼力 \mathbf
{F}_\mathrm{Darcy}，其定义为

其中，\theta_c=0 时，\alpha(\theta_c) 较大，对应固体域；\theta_c=1时，\alpha(\theta_c)为零，对应流体域。

由于亥姆霍兹滤波，阻尼可以变得很小，但如果到处都很小，则只能是零。

在实践中，阻尼项不应该完全任意变化，因为这可能会引起不符合物理实际的数值效应。为了限制阻尼项的变化，我们使用亥姆霍兹滤波器引入一个最小长度尺度。(更多信息请参见之前的博文使用密度方法进行拓扑优化）。

拓扑结构优化的结果如下图所示。可以看到，由于违背了无滑移 边界条件，阻尼项在中央三角形的角落附近不太高。我们可以进行验证研究，研究性能在多大程度上受到这种非物理效应的影响，可以通过增加阻尼或者创建一个没有实体域的新组件。在这种情况下，有限渗透率对性能的影响似乎不大。

对特斯拉微阀进行形状优化

拓扑优化的结果有时会非常复杂，也许可以做一个更简单的设计，但性能效果相似，如下图所示。该设计的特点是基本原理相同，在通道收缩附近有一个中心障碍物。还有一自由段，当流体从右边流入时，将其引向一个更长的通道。

图2.一个使用内壁（白线）的简单几何图形中，绘制了流速压降比等于 2.3。

COMSOL Multiphysics® 软件通过固定网格拓扑结构支持基于梯度的形状优化，即只改变网格节点的位置。从 COMSOL Multiphysics 5.5 版本开始，优化模块具有几个内置的形状优化功能，多项式边界 特征就是其中之一。该特征通过平滑方程处理内部节点的变形，而内壁的变形由以下公式给出

其中，d_\mathrm{max} 是最大位移， B_i^n 是 n 阶 Bernstein 多项式的第 i 阶, 0\leq s\leq 1是 COMSOL s 参数。

Bernstein 多项式满足其系数在整个直线上的界限，这意味着直线上的每个点都被限制在一个边长为 2d_\mathrm{max} 的正方形盒子里移动。

如果位移很小，并且使用一阶多项式，那么线条就会保持笔直，移动很小，导致目标函数的微不足道的改善。另一方面，如果最大位移量很大，并且使用高阶多项式，肯定会出现网格质量的问题，所以必须找到一个平衡。下图显示了用二阶多项式进行形状优化的结果，最大位移等于左边内壁的初始长度。

图3.在形状优化后的几何形状中绘制的流速。压降比等于 3.5。

形状优化的设计比拓扑优化的结果要简单得多（图1），但性能却明显变差。特斯拉微阀就是这样一个例子，我们可以通过应用形状优化作为后处理步骤来改善拓扑优化的结果。

与其使用基于梯度优化的内壁，不如创建由实体物体组成的障碍物并应用无导数优化。这可以参考特斯拉微阀的参数优化教程模型示例。

这个模型以及本文中展示的模型都是利用了对称性，但是特斯拉的原始特斯拉微阀并不是对称的（参考文献1），所以很自然地我们会提问：是否可以通过消除对称性的约束来提高装置性能？你也可能会问，如果有压力驱动的流动和优化流速比是否会导致不同的设计，或者通过引入更多的内壁，形状优化的设计可以改善多少？提出这些问题很容易，利用 COMSOL Multiphysics，我们也可以找到答案。

后续步骤

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参考文献

Valvular Conduit, Nicola Tesla, 1920, US Patent 1,329,559.