网球拍“甜区”中的物理学

2015年 8月 27日

每年,来自全球各地的网球运动员都会齐聚美国网球公开赛,这也是网球界历史最悠久、规模最大的网球锦标赛之一。随着 2015 网球锦标赛的临近,我发现我又想起了自己打网球的一些经历,每次击球的体验都不太一样。这只是我们自己的主观感觉?还是其背后也存在对应的物理解释?在本篇博客中,我将说明如何用所谓的“甜区”来解释这种感觉。

网球拍的振动节点

根据机械振动理论,振动节点指当有波传过时不会发生位移的点。由于波是由于球撞击球拍产生的,球拍转而会开始振动摇摆。当球拍的一端被运动员握在手中时,查看球拍的振型,此时可以找出振动位移为零的点,即在振动期间内任意时刻的振幅为零。下面是用 COMSOL Multiphysics 计算得到的三种不同振型:

网球拍的振型。
从左到右、从上到下的顺序分别表示网球拍的前三种振型。基础振型的频率为 15 Hz;第二种振型的频率为 140 Hz;第三种振型的频率为 405 Hz。

如上所示,许多点都表现出了这一行为。那为什么我说的好像只存在一个振动节点呢?现实中其实存在无穷多的振动节点。当受到撞击后,球会产生无数个不同频率的谐波。一次会激活无限数量的频率,但哪个振动节点才是“甜区”呢?是基振节点还是不同谐波交叉后产生的节点?

很显然,基础振型节点不会是甜区:它位于手柄处。您可以尝试用手柄击球过网。运气非常好的话可能会成功,但这个概率非常低。同时,第二个振型还包含两个节点:一个位于手柄处,另一个位于靠近拍头处的网线处,后者被认为是甜区。用这一点击球时,所有球员基本上都不会感觉到振动。

当然,更高振型下也存在振动节点,如上方得到的第三种模式所示。但随着振型固有频率的增加,振幅将显著下降。下图显示了一个梁结构对持续 5 ms 的正弦式载荷的频率响应,这相当于球撞击球拍的时长。对于高于 300 Hz 的频率,振幅几乎为零。也就是说,第三种振型或更高频率振型的影响可以忽略。不论球撞到哪个位置,即使是在振型达到最大振幅的点,更高的振型由于没有任何激发,所以不会带来任何影响。

正弦式载荷的频率响应。
绘图显示了对持续 5 ms 的正弦式载荷的频率响应。

网球拍的撞击中心

当网球击中球拍某点时,如果没有其他作用力,球拍将沿指向另一端的轴线旋转。随着在击点处球与球拍的质心距离逐渐接近,击点与旋转轴的距离将会缩短。当球正好撞到质心时,球拍将发生平移而非旋转。从数学角度来看,旋转的中点位于球拍的无穷远处。

即便如此,我们还是能找出一个撞击位置,它将在靠近手柄的端点处产生一个旋转中心,也就是选手的握拍位置。我们可以在质心的特定距离处找到一个位置,当球撞击球拍上的这个点时,会得到一个靠近手柄端点的旋转中心。这一点被称作撞击中心 (COP),有时也会被看作一个甜区。当球拍沿靠近球柄端点的旋转中心旋转时,会绕开选手的手,因此手不会受力。

老式和新式网球拍的设计差异。
对比 20 世纪 70 年代流行的老式木质网球拍与拍头更大的现代球拍。这一新的设计元素用于将撞击中心从球拍的外框移到靠近网球线的中心。图片由 CORE-Materials 提供,通过 Wikimedia Commons 分享。

现在让我们从力学角度分析到底发生了什么。我们假定球拍可以作为一个刚性梁结构模拟。

梁结构示意图。
梁结构示意图。图中定义了将用于以下方程的参数。

当与质量为 M 的质心距离 b 处施加力 F 时,此时质心会按 V_{cm} 速度发生水平移动。根据牛顿第二定律,

F=M \frac{d V_{cm}}{dt}

此外,力 F 会绕质心产生一个扭矩:

Fb = I\frac{d\omega}{dt}

其中,I 是梁沿旋转轴的转动惯量,\omega是角速度。考虑点 P,它与质心的距离为 c。点的速度 vv=V_{cm}-c\omega,得到:

\frac{dv}{dt}=(\frac{1}{M}-\frac{cb}{I})F

由于旋转中心对应于不存在平移加速度的点,COP 与质心之间的距离为 b_{cop},可通过以下公式计算

b_{cop}=\frac{I}{c_{cr}M}

其中,c_{cr} 是旋转中心与质心之间的距离。根据质心与理想旋转中心(抓柄端点处)的距离,我们可以直接判断出特定球拍形状中 COP 的位置。

功率点

我们有时也将功率点称作第三个甜区,它是最佳的弹跃点。换言之,球接触到这个点后会产生最好的弹性。从数学的角度来看,功率点定义为拥有最高回弹系数 (COR)的点,COR 就是回弹高度与球的入射高度之比。回弹系数是所有会影响球速的设计元素综合作用的结果,所以非常重要;它还为我们提供了一个综合视角来考察所有因素,设计工程师将无需单独了解每个参数的影响。

功率点位于球拍的拍喉处,靠近质心。该点与拍喉的距离越近,刚度越高,由于球拍变形造成的能量损耗越低。当球击中球拍时,冲击能会分为球、球拍及网球线上的动能和弹性能(变形能)。功率点处的变形很小,因此球拍能将几乎所有的动能传回球。

回快球时,功率点的作用很大。实际中,如果必须回一个快球,您将不会有太多时间来调整球拍位置以及准备回球,所以只能选择在球打来时把它打回去。需要注意有一点很重要:球越靠近功率点,回球质量越高。

哑点

博客所介绍的球拍中最后一个很有意思的点是哑点。球击中哑点时,完全不会发生回弹。球传递的所有能量会传到球拍,不会有能量返回到球上。这是由于球拍在哑点处(通常较靠近端点)的等效质量等于球的质量。从力学的角度来看,哑点处产生的力与加速度之比等于球的质量。

为了更好地理解这一物理现象,我们将假定一个理想碰撞:初始速度为 V_0、质量为 m 的刚性球与另一个质量相同但处于静止态的刚性球发生碰撞。根据能量守恒和动量守恒得到:

\frac{1}{2}mV_0^2 = \frac{1}{2}mV_1^2+\frac{1}{2}mV_2^2
mV_0=mV_1+mV_2

因此,它变为

V_1=0 \ \text{and} \ V_2=V_0

如果球与另一个质量相同但处于静止态的球发生碰撞,球会突然停止,并将能量全部传递给另一个球。因此,当球碰到静止球拍上的哑点时,完全不会发生回弹。因此用这个点来回球是非常遭的选择。但另一方面,当您希望击打静态球时,比如在您的发球局中,哑点能非常高效地将动量能从球拍传递至球中。

在您的接球局,哪个才是最佳击球点呢?这并非只有由甜区的数学所确定。大多数情况下,答案将相当靠近端点处。因为您挥臂的方式,球拍端点处的速度会远高于拍喉处的速度。因此,较高的撞击速度和良好的动量传递属性共同确定了这个最优点。

盘点-局点-破发点

我们已经深入了解了这三个相当出名的球拍甜区背后的物理含义。在振动节点,传递至网球选手及手臂处的不适振动最少。在打击中心点,对运动员手臂的初始冲击也是最小。最后,在功率点,球会以最快的速度发生回弹。

网球球拍的甜区。
网球球拍中甜区的位置。

正式比赛前…

如果希望打一场精彩的比赛,您可以继续阅读以下内容来提升您的网球技能:


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