不确定性量化（Uncertainty Quantification，UQ）研究能够帮助工程师深入了解各类不确定性因素对模型预测结果与设计性能的影响。在具备实验数据的情况下，可以采用逆不确定性量化（Inverse Uncertainty Quantification，IUQ）方法，在充分考量不确定性的前提下对模型参数进行校准。在本篇博文中，我们将演示如何在 COMSOL Multiphysics® 软件中执行逆不确定性量化研究，以及如何将得到的后验分布应用于正向不确定性量化研究。
定义逆不确定性量化（IUQ）
在之前的博文 “你的电阻器性能有多可靠？“，我们探讨了正向 UQ 如何预测材料属性、几何尺寸或制造工艺的变化对电阻性能的影响。然而在许多情况下，我们其实已经掌握了测量数据（例如，实验测得的电阻值），此时更值得关注的是如何校准输入参数，尤其是材料属性。在 COMSOL® 软件中，IUQ 即可胜任这项任务。它通过观测数据进行反向推导来估算这些未知的输入参数，并将有限元法与代理模型相结合，实现输入参数的高效校准。
尽管 参数估计 主要侧重于寻找最佳拟合参数值，但 IUQ 能够提供校准参数的概率描述，包括其可能的取值范围、置信水平以及参数间的相关性。通过基于测量数据来优化参数分布，IUQ 能够显著提升模型的准确性与预测能力。
此外，当具备实验数据但输入参数的分布未知时，开展 IUQ 研究通常十分必要。例如，通过 筛选 或 敏感性分析 确定了关键参数后，可以利用 IUQ 研究来获取这些参数的后验分布。随后，这些经过校准的分布即可作为正向 UQ 研究（如不确定性传播和可靠性分析）的输入参数。由于用于预测的不确定性是由实际数据和先验假设共同支撑的，因此这一流程构建了一套更为贴合实际的分析框架。
接下来，我们将探讨如何开展 IUQ 研究，以及如何在 COMSOL® 软件中将由此得到的后验分布无缝应用于 正向不确定性传播研究。
通过一个电阻模型理解 IUQ
IUQ 通过将实验数据与先验知识相结合来估算校准参数，可以被视为贝叶斯（Bayesian）框架下的参数估计过程，其中测量数据用于指导参数分布的更新。
实验数据提供了模型必须复现的参考量，例如，电阻在不同外加电压下测得的电阻值。在 IUQ 研究中，COMSOL® 会通过将仿真输出与这些测量值进行比较，评估每组参数出现的可能性。
在软件中，IUQ 会将实验数据与基于有限元仿真训练的代理模型获得的预测结果进行对比。其中，有限元模型定义了不确定性输入与可测输出之间基于物理规律的关系，而代理模型则是对这种关系的近似表达，能够实现对参数空间的高效采样。
贝叶斯更新过程将先验分布与用于衡量代理模型预测值与实验数据之间一致性的似然函数相结合，由此得到的后验分布不仅代表了校准参数最可能的取值，还包含了其不确定性信息。通过这一过程，IUQ 能够以数据为支撑且计算高效的方式提供经过校准的材料属性。因此，实验数据会直接影响所推断出的参数分布。
工作流程：在 COMSOL® 中执行 IUQ 研究
定义问题并构建有限元模型与 IUQ 研究
设置 IUQ 研究的第一步是构建一个基于物理原理的仿真模型。以我们在 上一篇博文 中重点介绍的电阻示例为例，其中使用 电流 接口，根据给定的材料属性和几何结构计算电阻。我们将定义在电阻不同区域上的两个电导率（Sigma1 和 Sigma2）作为校准参数，通过稳态研究确立输入参数与输出量（即，电阻）之间的正向映射关系。本次 IUQ 算例中，将沿用这些设置。
下一步是添加一个 不确定性量化 研究，以 研究 1 作为参考，并将研究类型选为 逆不确定性量化。高斯过程和多项式混沌展开方法均可作为 IUQ 研究的代理模型，在本示例中，我们将使用自适应稀疏多项式混沌展开，并将用于评估电阻值的变量 comp1.Res 定义为关注量（QoI），以对应仿真的输出结果。
定义不确定性输入参数及其先验分布
在 输入参数 中，需要同时包含校准参数（Sigma1 和 Sigma2）以及实验参数（即，外加电压 V0）。由于 V0 的每个取值都对应着不同的实验，因此被归类为实验参数，而非校准参数。
接下来，需要为每个参数设定先验分布。在本示例中，我们假设 Sigma1 和 Sigma2 服从正态分布。对于实验参数 V0，由于测量是在一定电压范围内进行的，因此采用均匀分布。
必须将实验参数 V0 包含在内，因为代理模型将系统响应表征为校准参数与实验条件二者共同作用的函数。V0 分布的取值范围（例如，4.9 V 至 35.1 V）必须能覆盖实验中实际使用的电压范围，例如，5 V 至 35 V。
准备并导入实验数据
在 实验数据设置 栏，可以通过表格形式提供实验值，也可以从 .txt 或 .csv 等文件中导入外部测量数据。本示例中，伪实验性电阻数据是通过运行 稳态 研究并对电压 V0 进行辅助扫描生成的。我们定义了一个测量电阻变量，其表达式为：
其中，Res 是通过有限元（FEM）模型评估得出的电阻值，rn1() 是一个随机函数，用于向模拟电阻值中添加测量噪声。随后，在 IUQ 设置的 实验数据表 中，选取随 V0 变化的 Res_measured 评估值。
在此处，V0（电压参数）被选为实验参数，而在 全局计算 下评估的伪实验数据 Res_measured 则被定义为关注量（QoI）。
如果将 测量不确定性类型 设置为 已校准，COMSOL® 会在 IUQ 过程中自动估算测量不确定性。相反，如果选择的是 实验数据，则必须明确提供测量不确定性。
采样与代理模型设置
在采样设置中，可以指定输入点的最大数量，这将直接决定由有限元仿真生成的训练数据集的大小。这些输入点将用于基于有限元仿真结果来训练代理模型。
注意：在本示例模型中，执行逆不确定性研究前，应先关闭 稳态 求解步骤中的 辅助 扫描功能。
IUQ 结果
IUQ 研究分别生成了联合概率分布和校准后的置信区间，如图 4 和图 5 所示。图 6 对比了 Sigma1 和 Sigma2 的先验分布与后验分布，展示了实验数据如何优化参数估计并降低不确定性，这一点在 Sigma2 上尤为明显。需要注意的是，Sigma1 代表电阻材料的电导率，正如前文的 筛选分析 所示，电阻对 Sigma1 并不敏感。因此，Sigma1 的先验分布与后验分布非常相似。
图 6. Sigma1 和 Sigma2 的先验分布和后验分布对比。
利用后验分布进行正向不确定性量化研究
从 IUQ 研究中获取的后验分布，可以直接复用于正向不确定性量化研究。若要应用这些分布，第一步是添加一个新的 不确定性量化 研究，将其类型选为 不确定性传播，并将其关联到之前的 IUQ 研究。
系统会自动创建一个新的 关注量 表格，其内容与 IUQ 研究中的表格完全相同。由于评估的关注量仍是 comp1.Res，因此可以选择 仅分析 或 改进并分析。前者会复用现有的有限元数据来训练新的代理模型，例如新的 高斯过程 模型，而后者则允许增加额外的仿真或输入点，以进一步提升代理模型的精度。为了简便起见，我们在正向 UQ 研究中选择 仅分析。
默认情况下，系统会生成一个新的 高斯过程 代理模型，用于这项新的正向 UQ 研究。接下来，启用新的 高斯过程 模型并点击 训练模型。通过这些步骤，我们就可以将 MCMC 样本的后验分布添加到正向 UQ 研究中。
需要注意的是，在正向 UQ 研究中，可以忽略 输入参数 部分所定义的分布。相反，从 IUQ 研究中获取的后验分布已经完整定义了采样空间。因此，正向 UQ 采样无需再做任何额外的先验假设。
在 基于代理模型的蒙特卡罗分析 栏，将 蒙特卡罗参数来源 选择为 手动。然后，针对每个校准参数（Sigma1 和 Sigma2），来源类型选择 数据，数据源选择 结果表，并分别选择 MCMC 样本表中对应参数的列。
请注意，对于 V0，我们只能选择一个工作条件，即，其标称值 1 V。
完成本次正向 UQ 研究后，即可生成基于后验分布的核密度估计（KDE）图，以反映由校准参数分布传递而来的不确定性。图 10 显示，电阻的最高概率密度集中在 50 \Omega 左右。根据关注量（QoI）置信区间表（这里未展示），电阻的预测均值为 49.975 \Omega，标准差为 0.0957 \Omega。
同样地，在 基于代理模型的蒙特卡罗分析 一栏指定后验分布（图 9 ），即可执行可靠性分析。例如，电阻大于 50.25 \Omega 和 52.5 \Omega 的概率分别约为 2.55% 和 0%。这一概率量化了超出指定电阻阈值的风险。换言之，我们可以得出结论：对于任何要求精确 50 \Omega 负载的应用，该电阻器都具有非常高的可靠性。
基于数据驱动的校准与不确定性传播工作流
逆不确定性量化（IUQ）提供了一种系统化方法，能够利用实验数据对不确定的输入参数进行校准。通过结合有限元仿真、代理模型和贝叶斯更新，IUQ 将先验假设修正为更能准确反映物理系统的后验分布。
随后，当这些后验分布被应用于正向 UQ 研究时，预测结果将变得更加真实且由数据驱动。不确定性传播不再依赖于假设的参数变化，而是基于能够同时反映实验测量与模型物理机制的校准参数分布。
这种 “先 IUQ 后正向 UQ” 的组合工作流将模型校准与不确定性传播融为一体，直接在 COMSOL® 软件的专业用户界面内完成全部操作，无需切换其他工具，最终可以实现更可靠的预测，提升对仿真结果的置信度，更清晰地了解参数不确定性如何对系统性能产生影响。
下一步
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