今年是《美国独立宣言》发表 250 周年。作为自由的象征，自由钟（Liberty Bell）以其标志性的裂缝而闻名，而在仿真领域，它也是一个极具历史意义且非常有趣的物理研究案例。在这篇博客文章中，我将使用 COMSOL Multiphysics® 软件对自由钟的几个迷人特性进行仿真分析，包括钟体（有或无裂缝状态）的结构模态。此外，我还将通过不确定性量化方法，对其材料属性提出新的研究见解，并尝试通过形状优化设计一口音调更加完美的钟。
仿真灵感来源：自由钟
最近，我前往费城参加美国声学学会的会议，期间参观了自由钟展区，由此回想起它的一段历史。在会议上，我还惊喜地了解到，过去（参考文献 1）以及目前（参考文献 2–3）一直都有学者对这口钟进行结构声学的相关研究。
自由钟最初是为宾夕法尼亚州议会大厦订购，由伦敦的白教堂铸钟厂铸造（参考文献 4）。这口原装进口的钟在首次试敲时就出现了裂缝，随后交由当地工匠 John Pass 和 John Stow 进行了重铸。我们今天看到的标志性裂缝，其实是这口重铸钟在后期形成的特征。据美国国家公园管理局记载（参考文献 4），虽然这条裂缝的确切成因已无记录，但很可能是在 19 世纪 40 年代初出现了一道细微裂口，之后为了防止裂缝继续蔓延，工匠们在 1846 年对其进行了人为拓宽。如今，自由钟被作为国家标志备受珍视，目前陈列在宾夕法尼亚州费城独立国家历史公园内的自由钟中心。
对自由钟进行建模仿真
对从事结构声学研究的仿真工程师而言，我们的首要目标是计算自由钟的结构模态。为此，我们需要获取基础的材料属性、几何模型，以及带有边界条件的物理场设置。被称为 “钟用青铜（bell bronze）” 的材料，属性参数差异极大，不过在本次分析中，我们暂且假设其弹性模量、密度和泊松比均为常数（E = 120\, \textrm{GPa}, \rho = 8800\,\textrm{kg/m\^{}3}, \nu = 0.34），并采用线弹性材料本构模型。由于钟的设计初衷就是为了鸣响，其结构阻尼非常低，因此在计算模态时我们将忽略阻尼的影响。
钟的几何形状至关重要。事实上，关于教堂钟的声学特性已有过广泛的研究，铸钟厂通常会对前五个模态进行特定比例的调音，以达到最佳的声学效果。调音良好的钟所具有的前五个模态名称及其频率比（参考文献 5）分别为：低音（hum，0.5f_0）、基音（fundamental，又称 prime，f_0）、三度音（tierce，1.2f_0）、五度音（quint，1.5f_0），以及标称音（nominal，2.0f_0）。目前尚不清楚自由钟是否经过调音，或者其调音的精确程度如何，而这正是我们在首次仿真中将要探究的问题之一。
为了获得贴合真实情况的几何模型，我们将利用自由钟复制品的 3D 扫描数据（详见下方图注）。这是一个曲面网格文件，包含了所有的铭文、悬挂结构、钟锤以及扫描过程中产生的一些瑕疵。不过，借助 COMSOL® 软件中的几何工具，我们可以提取出一个具有代表性的截面，并通过将其旋转生成三维实体几何模型。同时，我们还会忽略部分细节特征，因为这些特征不仅会增加模型的复杂性，而且对钟的鸣响模态不会产生显著影响。
物理场方面，我们选择 固体力学 接口，所有边界均保留默认的自由边界条件。然后采用特征频率研究，仅计算前五阶振型。最终得出的基频为 f_0=336\,\textrm{Hz}。与音准完美的钟体相比，采用基准参数时复刻钟的音准略有偏差（详见下方谐振比值）。同时需要注意，上述每阶振型均存在一组正交成对振型（二者频率简并），这一点在后续分析中需重点留意。
不确定性量化
到目前为止，我们已经基于一组基准材料属性计算了钟的模态。然而，关于青铜钟材料的弹性和质量特性目前并没有详尽的文献记载。此外，根据铸造时具体合金配方的不同，其成分也会有所差异。这就引出了一个自然而然的问题：材料属性的不确定性会对特征频率产生怎样的影响？这个问题可以通过使用 COMSOL Multiphysics® 的附加产品 不确定性量化模块 来解答。
我们不再定义离散的材料属性，而是为各项属性设定分布范围，即均匀分布在以下区间内：E = 85-125\, \textrm{GPa}, \rho = 8400-9000\,\textrm{kg/m\^{}3}, \nu = 0.30-0.34。我们将采用 不确定性传播 研究类型，并结合特征频率参考研究，求解目标模态的 95% 预测区间。其中需要利用代理模型，从而能够高效地计算不确定性。
分析结果显示了特征频率预期范围对应的误差条。从这些结果中可以发现，随着模态阶数的增加，频率的变化幅度也在增大（从低音模态的 +/- 17 Hz，增加到了标称音模态的 +/- 60 Hz）。此外，参考文献 1 中的实验测量数据也恰好落在这些误差条所标示的范围内，这让我们有理由相信，我们已经合理地界定了这口钟的材料属性范围。
裂缝会带来什么影响？
带有裂缝的钟依然能够振动并辐射声音，但裂缝会大幅改变其音色特征。为了探究这一现象，我们在几何模型中添加了一条 1 毫米宽的裂缝，其位置与现实中那道大裂缝大致相似。这条裂缝会局部降低结构的刚度，并破坏原有的轴对称性，导致模态分裂。原本在相同频率下简并的模态对因此发生分裂，在我们所考察的频率范围内产生了 10 个截然不同的特征频率（见下方右图）。显而易见，这会导致其模态特性与设计规范相差甚远，失去原有的音色协调性。
结构裂缝模态：带有裂缝的几何模型与标称音（左）；开裂钟与基准钟的所有计算模态（右）。
调整钟的音色
是否可以利用仿真技术打造出一口近乎完美的钟？我们通过设置一个形状优化问题来一探究竟。在优化过程中，允许钟的边界自由变形，以最小化目标函数 —— 当前特征频率与目标频率之间的方差。形状优化迭代运算 20 次后，最终得出了一种全新设计，所有频率与其目标频率的误差均小于 0.02%！本质上，它几乎完美地契合了参考文献 5 中的设计准则。值得一提的是，优化后的新形状与基准形状非常相似，这着实让人惊叹于铸造和加工高品质声学钟体所采用的高精度工艺。
形状优化的结果：钟横截面的轴对称视图的一半，展示了基准几何形状（红色）和形状优化后的几何形状（绿色）。
声-结构耦合
最后，我们使用 声-固相互作用，频域 接口，对简化处理后的自由钟复制品的声辐射响应进行模拟。假设损耗因子为 \eta = 0.001，并在钟捶敲击到的典型区域施加边界载荷条件，模型可计算出完整的场位移、应力、应变，以及由该激振力引起的声压和声压级（SPL）。
我们可以将结果在一个完整的声学周期内进行动画演示，从而全面了解其振动声学特性。
更多资源
在本篇博文中，我们展示了 “自由钟” 的多项结构声学仿真分析，但仿真的应用潜力远不止于此。通过仿真，还可以研究这口钟的其他更多特性，包括：声音传播规律及钟声可传播的最远距离、反复撞击将会引起的裂纹动态扩展，以及铸钟工序中熔融金属的凝固现象，等等。
本文中提及的相关技术主题补充信息如下：
参考文献
- G.H. Koopmann et al., “Tuning a Replica of the Liberty Bell via Material Tailoring: An Application of a Method for Optimal Acoustic Design.” ASME International Mechanical Engineering Congress and Exposition, vol. 35517, American Society of Mechanical Engineers, 2001.
- J. Young, S. Collier, A. Stearns, and E. Brown, “Modes of America: Computational Acoustics and the Sound of the Liberty Bell,” Presented at the 190th Meeting of the Acoustical Society of America (ASA), Philadelphia, PA, 2026.
- S. Collier, J. Young, A. Stearns, and E. Brown, “Modal Analysis of a Liberty Bell Replica,” Presented at the 190th Meeting of the Acoustical Society of America (ASA), Philadelphia, PA, 2026.
- “The Liberty Bell,” June 2025; https://www.nps.gov/inde/learn/historyculture/stories-libertybell.htm.
- Thomas D. Rossing and Robert Perrin, “Vibrations of Bells,” Applied Acoustics, vol. 20.1, pp. 41–70, 1987.
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