你在生活中是否见过超椭圆？大约 50 年前，我第一次接触到这个词，当时斯德哥尔摩市中心有一座超椭圆形状的喷泉（如下图所示），COMSOL 瑞典办公室距离那里步行仅需 10 分钟。最近我忽然想到，研究一下带超椭圆孔的平板周围的应力分布规律应该会很有意思。在这篇博客文章中，我将分享相关的研究结果。
什么是超椭圆？
标准椭圆通常由以下方程描述：
其中， a 和 b 为椭圆的半轴长。当 a = b 时，该公式就变成了半径为 a 的圆的方程。
超椭圆是它的一种推广形式，采用不等于 2 的指数，因此
斯德哥尔摩市中心的这座喷泉采用 n = 2.5 ，形状系数 a/b = 6/5。
斯德哥尔摩赛格尔广场（ Sergels Torg）的喷泉（左）和该喷泉的外形轮廓图（右）。
其他超椭圆的示例如下所示。
你可以在 此处 找到关于超椭圆数学原理的更多详细信息。
应力集中系数
应力集中系数（Kt）是固体力学中的一个重要概念，用于描述结构在几何不连续处（如孔洞、缺口等）周围应力增大的现象。Kt 将最大应力与适当定义的 “名义应力”（即不考虑几何不连续时的应力）联系起来，其关系为：
传统上，常见工况下的应力集中系数通常被汇编成表，收录在各类工程手册中。而如今，借助易于使用的有限元（FE）软件，计算应力集中系数通常比查阅图表或手册更加快捷和准确。
其中最广为人知的一个结论是：受单向载荷作用的大平板上的圆孔，其应力集中系数 Kt = 3。
另一项解析解是无限大平板中椭圆孔的应力集中系数：
在此公式中，长度为 b 的半轴与应力场方向垂直，因此应力集中系数会随着 b/a 比值的增大而增加。
超椭圆孔的应力分析
在 COMSOL® 软件中，可以非常方便地利用 参数化曲线 功能来构建超椭圆曲线。
在此，我们采用极坐标形式下的超椭圆表达式来进行参数化建模。当然，也可以使用基于 x 和 y 表示的原始方程构建更简单的参数化方法，但由于 y 与 x 之间呈高度非线性关系，这种方法的精度会有所降低。
所采用的参数化方法（左），以及另一种更简捷但精度更低的替代性参数化方法（右）。
首先，我们来看下与前文提到的喷泉形状相似的孔洞的计算结果。峰值应力的大小取决于长半轴的朝向，但在这两种情况下，其应力集中系数均低于圆孔对应的数值 3。
当 n = 2.5 、长短轴比 a/b = 6/5 时，含超椭圆孔平板的 von Mises 等效应力模型。
这看起来很有希望。接下来，我们很容易就能设置一个参数化扫描，来研究不同形状下的应力分布规律。
对于超椭圆指数 n 小于 2 的任何情况，孔边缘都会出现尖角，这会导致 应力奇异。这类情况不在本文的讨论范围内。因此，我们将 n 的取值范围限制在 2 到 8 之间。在 n 取最大值时，孔的形状几乎变成了一个带有圆角的矩形。对于长短轴比 b/a，我们测试了 0.2 到 5 之间的数值。计算得出的应力集中系数如下图所示。
当 n = 2 时，可以看出所得数值符合椭圆的预期结果： \displaystyle K_{\mathrm t} = 1+ 2 \frac{b}{a}
若利用该系数对曲线进行归一化处理，我们便能看出超椭圆与具有相同轴比的标准椭圆之间的区别：
可以看出，对于任意给定的椭圆，总能找到具有相同轴比的超椭圆，使其应力集中系数更小。特别是，若用最优的对称超椭圆（q = 1）来替代圆形，当 n = 3 时，应力集中系数可降低 14%，改善效果相当显著。这种应力的降低，有望使疲劳寿命提升至原来的 2 倍。
增大开孔面积的同时增强结构
超椭圆的面积可以表示为：
其中，Γ 为 伽玛函数。
相比之下，标准椭圆的面积为：
这意味着，拥有相同半轴的超椭圆与标准椭圆之间的面积关系和轴长比无关，可表示为：
下图对该函数 \psi(n) 进行了展示。
可以看出，当 n > 2 时，任何超椭圆的面积始终大于具有相同半轴的标准椭圆面积。有些出人意料的是，这意味着我们总是可以通过将圆形或椭圆形孔洞替换为面积更大的超椭圆孔洞——也就是通过 “去除材料“——来降低应力集中系数。在之前的博客文章 通过去除材料增强结构稳固性 中，也介绍了其他一些去除材料反而有益的情况。
但需要注意的是，本文仅研究了与孔洞某一半轴方向一致的单向应力状态。对于其他部分应力状态，这种降低应力的效果是无法实现的。相反，超椭圆拐角处减小的曲率半径反而会导致应力升高。
超椭圆的实际应用
当然，本文主要是一场有趣的理论探讨。在实际应用中，加工圆孔通常要容易得多。但如果采用增材制造或铸造等工艺，选择其他形状可能会带来额外的益处。
采用超椭圆形状的方法不仅适用于开孔，也可以用来降低圆角处的应力集中。
您可以点击下方按钮，下载本文示例中所使用的模型。
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