对流-扩散方程

     化工   什么是扩散?   对流-扩散方程 

对流和扩散效应共同作用

每当我们考虑某种溶解物质(溶质)或气体混合物中的某一组分的质量传递时,都需要注意,浓度梯度会引起扩散。如果存在流体整体运动,则对流也会对化学物质做出通量贡献。因此,我们常常需要分析对流和扩散的综合效应。对于稀物质:

(1)


(2)

示例:微通道中的对流和扩散

对于稳态的层流流动,沿速度场的流线不会相互交叉。而对于湍流,情况就不那么简单了,我们将在下面详细讨论。对于层流情况,由于对流仅传递与速度相切(即沿流线方向)的质量,因此,对流不能在相邻流体层之间引起质量传递。对于稳态的层流流动,只有扩散才能在垂直 于流体流动的方向引起质量传递。

对于微通道中的扩散混合,我们通过建立简单的模型,就能看出“与流动方向相切的对流”和“与流动方向垂直的扩散”之间的区别。在这个示例中,水从左上角和左下角的两个入口流入,从右上角和右下角的两个出口流出。由于装置为微米尺度,因此雷诺数很小,流动为 Stokes 流态,其流动剖面沿垂直轴和水平轴都对称。

假设我们仅从左下方的入口注入一种浓度为 1 mM (1 mmol/L) 的溶解化学物质,而在左上方入口注入纯水。当两种流体在通道中心线相遇时,会在垂直(y)方向产生浓度梯度,扩散作用会将溶质从通道下半部分输送到上半部分。下面的示意图说明了这种混合器的工作原理:

微通道混合器示意图;其中,扩散作用在整个通道中输送溶质。 微通道混合器的运行示意图,在流动方向的法向上发生扩散。 微通道混合器的运行示意图,在流动方向的法向上发生扩散。

下图演示通过求解纳维-斯托克斯方程计算得到的流动强度。请注意,流线不交叉:

模型描述微通道内扩散混合的流动剖面。 微通道内沿速度场(白线)的速度大小(彩色图)和流线。流动方向为从左到右。 微通道内沿速度场(白线)的速度大小(彩色图)和流线。流动方向为从左到右。

由于扩散混合作用,右上方出口的浓度大于零,右下方出口的浓度小于 1 mM。以下绘图对比了沿通道的多个点的对流通量(青色)和扩散通量(红色)的大小和方向,并显示了浓度分布:

浓度分布、扩散通量及对流通量比较图。 浓度分布(灰度图)、对流通量(青色箭头)和扩散通量(红色箭头)。在不同的尺度上,通过箭头长度表示对流和扩散通量的大小。 浓度分布(灰度图)、对流通量(青色箭头)和扩散通量(红色箭头)。在不同的尺度上,通过箭头长度表示对流和扩散通量的大小。

佩克莱特数

由上例可知,混合程度可以通过多种方式进行提高:

  • 使用较窄的通道,增大垂直方向上的浓度梯度,从而增加扩散通量

  • 增大扩散系数,从而增加扩散通量

  • 使用较长的通道或减慢流速,使流体通过通道的时间更长,从而增加扩散时间

我们可以通过一个称为佩克莱特数(Pe)的无量纲数来量化这些影响。佩克莱特数是对流传质贡献与扩散传质贡献的比值:

(3)

其中,L 是特征长度尺度,U 是速度大小,D 是特征扩散系数。

质量传递中的佩克莱特数与动量传递中的雷诺数类似。

当佩克莱特数大于 1 时,对流效应在确定总质量通量方面的贡献超过扩散效应。对于超过微米尺度的系统来说,通常都是这种情况。然而,由于佩克莱特数与系统尺寸成正比,我们发现,在小尺度下,扩散对质量传递的贡献更显著,因此无需搅拌也能实现混合。大多数形式的混合(搅拌、摇动、静态混合器、湍流)的作用是减少扩散发挥作用所需的长度尺度,从而增加扩散传质的局部数量。

正常情况下,垂直于流体流动方向传递的佩克莱特数始终为零。这类似于上述说法,在相切的流体层之间,扩散是引起质量传递的唯一因素。由于流体通过长度为 L 的管道的时间尺度为 L/U;因此,可以根据扩散理论来计算流体在管道中流动一段距离后,与流动方向垂直的扩散长度 Ldiff

(4)

鉴于当扩散长度尺度超过通道宽度 h 时,流体会高度混合。因此,我们可以说以下情况的混合是有效的:

(5)

即,以下无量纲数取较大值:

(6)

在层流对流-扩散系统中,预测的变量贡献与上文对微通道所做的简单直观的预测完全一致。

在实际的静态层流混合器三维模型中,我们也可以看到同样的趋势。在这个混合器中使用了固定障碍物来形成分叉流动,将入口浓度不均匀产生的浓度梯度分裂开。如此一来,流体会在通道的中点实现有效混合,如浓度剖面图所示。

描述静态混合器中的浓度梯度的模型。 在静态层流混合器中与流动方向垂直的切面上的浓度分布,绘图呈现了混合过程。 在静态层流混合器中与流动方向垂直的切面上的浓度分布,绘图呈现了混合过程。

沿流动方向的切面上的浓度梯度图(如下所示)演示了如何放置挡板,可以将流动分离后再重组,从而使浓度梯度较大的流动区域实现最大化。

突出显示静态混合器中的浓度梯度的绘图。 在静态层流混合器中沿流动方向的切面上的浓度梯度,与入口的阶梯型浓度剖面垂直。 在静态层流混合器中沿流动方向的切面上的浓度梯度,与入口的阶梯型浓度剖面垂直。

由上图可以明显地看出,随着扩散长度的缩短,流体层之间的混合所需的扩散时间也会减少。这就是为什么静态混合器(如上图中的例子)能实现有效混合的原因。混合器可以增加溶质浓度不同的流体层之间的表面接触面积,并减小这些层之间的分离长度尺度。虽然对流可以明显缩短扩散的时间尺度,但产生混合的仍然是扩散作用。

湍流中的对流-扩散

湍流中不存在稳定状态。因此,上述简化并不适用。对流通量是沿流体粒子的真实瞬时速度方向,而不是湍流计算中常用的“雷诺平均”速度。因此,在湍流中,对流作用对混合的贡献往往更大。

通过数值建模来预测不规则、不断变化的瞬时速度是不现实的。由于这个原因,常规的做法是将“对流通量”表示为与雷诺平均速度成正比,并使用新增的扩散分量来计入额外的湍流混合,这个扩散分量等于湍流粘度 VT 与湍流施密特数 ScT 的比值:

(7)

其中,施密特数是观察到的动量扩散系数(粘度)与质量扩散系数的比值。这种数学方法与传热的 Kays-Crawford 理论类似。

由此可见,在湍流中,对于不相交的、时均 稳定流动流线之间的混合来说,对流传质非常重要。如前所述,湍流效应会导致瞬时流线在较短的长度尺度上频繁地改变位置,因而增加了流体不同区域的接触面积,并使扩散可以在这些区域之间更有效地进行质量交换。

发布日期:2015 年 1 月 28 日
上次修改日期:2018 年 3 月 22 日