螺旋电感恒定电流图

静磁学理论

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自由空间中的静磁学

静磁学是电磁学的一个子领域,研究由恒定电流或永磁体产生的静磁场。我们首先从自由空间开始讨论,其中的静磁学方程为高斯磁定律:

(1)

以及麦克斯韦-安培定律(静态情况):

(2)

其中, 为磁通密度, 为电流密度, 为真空磁导率。

请注意,磁场高斯定律预示着没有磁荷。根据该定律得到的另一个推论是磁通密度呈螺线形,或者说无散度。这意味着,磁场可以写成其他矢量场的旋度,如下所示:

(3)

其中,场 称为矢量磁势。

电势可以更有效地表示静电方程和恒定电流方程。类似地,矢量磁势也支持以更有效地方式表达静磁学方程,下文对此作了进一步描述。

亥姆霍兹定理指出,矢量场由其旋度和散度定义(在常数意义下)。矢量磁势散度的选择非常重要,其中的一种选择是库仑规范:

(4)

利用矢量磁势,自由空间中的静磁学方程可以合并为一个方程:

(5)

矢量恒等式:

(6)

结合库仑规范条件,可以给出自由空间中静磁学方程的另一种形式:

(7)

磁性材料中的静磁学

磁性材料的特点是具有永磁矩或感应磁矩。因此,磁性材料中的磁通密度与自由空间的不同。

为了从宏观上描述这种现象,比较方便的做法是引入磁化矢量场 和磁场强度 ,其关系式为:

(8)

其中 是磁导率。

这一关系式类比于:

(9)

其中,由于历史原因,在磁性情况下,比例系数以倒数形式出现,且磁化场具有负号。

根据下式,我们可以将磁化矢量场视为产生等效的体积电流密度

(10)

并使自由空间中的静磁学方程的广义形式包含材料效应,如下所示:

(11)

利用磁场强度,可以将静磁学方程写为:

(12)

其中 为自由电流密度。

由于磁矢势蕴含着磁通密度无散度这一事实,因此我们可以将静磁学方程联立成一个方程

(13)

线性磁性材料

对于线性磁性材料,磁化强度与磁场强度成正比:

其中 为磁化率。

它与磁通密度的关系式为:

其中引入了两个有用的新量:相对磁导率 和绝对磁导率

基于此,线性各向同性材料中的静磁学基本方程为:

当材料呈各向异性时,相对磁化率和磁导率可以是 3x3 的张量。在磁导率情况下:

(14)

由于磁导率存在倒数关系,各向异性情况下的静磁学方程为:

(15)

其中, 是磁导率张量 的逆。

材料界面的静磁学方程和边界条件

下表汇总了最重要的静磁学方程:

方程名称 微分形式 积分形式 边界条件
高斯磁定律
麦克斯韦-安培定律(静磁学)

其中 是通过闭合路径 C 的电流, 是表面电流密度。

法拉第定律在恒定电流理论中的含义与静电学中的相同。电流守恒方程的含义可以概况如下。

方程名称 微分形式 积分形式 边界条件
高斯磁定律 无磁荷。 磁通量守恒,磁通线总是相互靠近。 磁通密度的法向分量连续。
麦克斯韦-安培定律(静磁学) 某个点的磁场旋度(无穷小循环)等于该点的电流密度。 闭合路径周围的磁场循环等于流过该路径所界定的表面的电流。 材料界面的表面电流等于磁场切向分量的跃迁。
在 COMSOL Multiphysics 中模拟的载有恒定电流的螺旋导体图。

载有恒定电流的螺旋电感。显示了周围空气中与磁通密度 对应的磁通线。其中,磁通线用颜色表明不同的通量大小,蓝色和红色分别表示磁通大小的谷值和峰值。

载有恒定电流的螺旋电感。显示了周围空气中与磁通密度 对应的磁通线。其中,磁通线用颜色表明不同的通量大小,蓝色和红色分别表示磁通大小的谷值和峰值。

螺旋电感模型的磁通密度大小的可视化表示。

螺旋电感主结构的截平面上的磁通密度 大小,红色和白色分别表示密度大小的低值和高值。

螺旋电感主结构的截平面上的磁通密度 大小,红色和白色分别表示密度大小的低值和高值。

无自由电流的静磁场

对于没有自由电流,只有磁化矢量场的情况,我们可以采用麦克斯韦-安培定律的简化形式:

磁场强度场为无旋(无旋度)场这一事实意味着存在标量势(即 ),因此可得:

将上式与高斯磁定律和下式结合:

可以得到以下无自由电流情况下的静磁场方程:

此方程类似于静电方程,可用于模拟永磁体等。

左图显示马蹄形永磁体和铁棒周围的磁通密度 。箭头表示磁通密度的方向,相交平面的颜色表明了磁通量的大小,粉色和蓝色分别表示磁通量大小的低值和高值。右图显示相应的几何图形。

线性磁性材料

对于线性磁性材料,无自由电流的静磁场方程变为:

静磁能

磁场中包含的静磁能可以用许多不同的方式来表示;例如,根据材料是否为线性进行描述。对于线性材料,某个体积 中的静磁能可以用场量表示为:

其中的静磁能密度定义为:

用磁矢势和电流密度来描述静磁能的另一种表达形式为:

这两个能量表达式被证明是等价的。

对于非线性材料,由于其“磁负荷”历史非常重要,因此需要更复杂的表达式来描述这种材料。

在计算静电力和电感值时,静磁能的概念非常有用。

发布日期:2019 年 2 月 26 日
上次修改日期:2019 年 2 月 26 日