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COMSOL Multiphysics® 中基于方程建模的3个示例

作者 Caty Fairclough

2017年 12月 20日

COMSOL Multiphysics^® 软件提供了基于方程的建模功能，该功能带来的可能性包括但不限于：创建可以保存和共享的新物理场接口，修改模型的基础方程，以及模拟更过类型的设备和过程。

在仿真中使用基于方程的建模方法

使用基于方程的建模方法（COMSOL Multiphysics 核心功能的一部分），我们可以基于数学方程式创建自己的模型定义，并将其直接输入到软件的图形用户接口（GUI）中。

通过这些功能，我们可以完全控制模型，并可以根据我们的具体需求自定义方程，并根据需要增加其复杂性。为了灵活运用这项功能，COMSOL Multiphysics 内置了一个解释器，用于在生成模型之前解释方程、表达式和其他数学描述。另外，我们还可以使用如物理场开发器等工具来创建自己的物理场接口，或者使用 App 开发器创建全新的用户界面。

在 COMSOL Multiphysics 的图形用户接口中输入自定义偏微分方程的示例。

借助此功能，我们可以使用以下方程或方法建模：

偏微分方程（PDEs）
常微分方程（ODEs）
代数方程
微分代数方程（DAEs）
任意拉格朗日-欧拉（ALE）方法
曲线坐标计算
敏感度分析

使用基于方程建模的方法设置和求解模型时，我们的创造力不会受到限制，扩展了我们可以通过仿真获得的成果。为了展示该功能的实际应用，我们来看三个示例。

示例1：KdV 方程和孤子

1895 年，科学家创建了 Korteweg-de Vries（KdV）方程用于模拟一种水波。由于该方程式没有考虑耗散，因此这种波似乎会永远传播。这种波现在称为孤波，被看作一种可以在不改变其形状或速度的情况下长距离传播的单个“驼峰”。

如今，工程师使用 KdV 方程来理解光波。孤波的主要现代应用之一是光纤。

使用基于方程的模型模拟 KdV 方程

为了在 COMSOL Multiphysics 中求解 KdV 方程，我们可以通过数学表达式和系数匹配将偏微分方程和常微分方程添加到软件接口中，还可以通过一般形式偏微分方程 接口轻松定义因变量并识别系数。

通过这种设置，我们可以对光纤中的初始脉冲以及产生的波或孤波建模。根据 KdV 方程，我们可以通过仿真观察到，脉冲速度决定了它的振幅和宽度。此外，仿真结果显示，与线性波一样，孤波在保持其形状的同时会发生碰撞并重新出现。如果不进行仿真，则很难观察到这种反常现象。

如果想要了解有关此示例的更多信息，请参见 COMSOL 案例库中的 KdV 方程模型。

基于方程建模的 Kdv 方程和孤波模型的仿真结果
仿真显示孤波在碰撞和重新出现时如何保持完整的形状。

示例2 ：心脏中的电信号

接下来，我们看一个医学案例，即如何使用仿真理解心脏收缩和扩张的节奏模式。当一个离子流通过心脏传递到肌肉时，就会触发节律性收缩。在此过程中，离子会流过一些小孔，这些小孔在细胞膜内以激发（开放）或静止（闭合）状态存在。因此，为了更好地理解心脏的脉动模式，我们需要检查心脏组织中的电活动。

研究心脏中的电信号不是一个简单的过程，并且包含模拟激发介质。为了应对这一挑战，我们可以引入两组方程来描述电信号传播的各个方面，由意大利 Campus Bio-Medico University of Rome 的 Christian Cherubini 博士和 Simonetta Filippi 教授开发的心脏电信号模型，就是这样一个例子。COMSOL Multiphysics 的偏微分方程接口中包含该模型中使用的 FitzHugh-Nagumo 方程和复金兹堡-朗道（complex Ginzburg-Landau）方程。

使用 2 种不同的偏微分方程分析心脏组织中的电信号传播

通过使用 FitzHugh-Nagumo 方程来模拟激发介质，可以创建具有两个变量的简单生理学心脏模型：激活剂（对应于电势）和抑制剂（膜孔是打开的并能传输离子电流的压敏概率）。使用这些方程和各种参数，我们可以看到一个在组织周围移动的无阻尼的折返波，从而形成特征性的螺旋形图案。在电信号的背景下，这种模式可能会产生类似于心律不齐的影响，从而干扰心脏的正常脉动。