电压和接地是否存在?

2021年 6月 15日

当我在大学学习电气工程类课程时,我真的希望当时学习的一些知识能换种方式教授。例如,电压接地 的概念就属于这一类知识,因为这些术语经常会在不易察觉的情况下被误用。今天这篇博文,我们将会对这些概念给出一个精确的定义,并从理解电磁学和建立良好的计算模型的角度来讨论一些有趣的案例。

教科书中的一个示例

我们以一种原始且最简单的电气设备——电池为例来说明。我们可以通过将两个金属块插在一个橙子中制成一种最简单的电池(详细请参考橙子电池案例教程)。一些简单的电气设备中会用到电池,例如手电筒。我们在电气工程课程中学到的第一件事就是如何绘制电路图,像下面这样:

A simple circuit diagram for a flashlight.
手电筒的基本电路图。

这幅图显示出:有一个电池,其中一个端子连接到开关。一旦开关闭合,电流将流过电灯泡(发光)并通过电阻返回到另一个电池端子。手电筒在 直流电(时不变)条件下运行。电阻代表电池的内阻以及连接线的内阻。连接这些组件的点称为电路的节点。

我们在学校最有可能进行的一项练习是计算通过电路的电流以及各个节点的电压。但在这种情况下,电压究竟是什么?电压是指 电路中两个节点之间的电势差,例如电池的两个节点。但是,请注意,我们还在电池的一个端子处绘制了接地,并且我们还给出了接地的定义:电势为零的节点。因此,如果电池的电压为 9 V,并且知道电池其他端子的电势,我们就可以使用基尔霍夫定律(Kirchoff’s laws)计算出所有其他节点相对于接地节点的电压以及电流。

不过,这里应该会提出一个问题:为什么我们称该特定节点为接地?我们这里的电路代表一个手电筒,即使手电筒与其他任何东西完全电气隔离,它仍然可以工作。(我们可以通过向空中扔手电筒来验证这一点。)那么,在我们的电子器件网路中,被称之为接地的这一点究竟是什么?这是一个完全随意设置的零点,但它数值上具有非常实用的定义。实际上,我们可以选择电路中的任何其他点作为接地点(甚至指定一个不同于零的值)并获得完全相同的电流。节点之间的电压只会相差一个常数定值。也就是说,如果我们知道节点电位的解,\mathbf{V} = \{V_1, V_2, V_3, V_4\},理论上我们可以添加 任何 常数 \mathbf{V} = \{V_1+c, V_2+c, V_3+c, V_4+c\} 并且仍然会得到一个有效的解。

但是,对此我们有一个警告。由于我们正在计算机上解决这个问题,而计算机是以有限精度算法工作,所以我们不想添加一个非常大的常数,例如 10^{16} \approx 1/\epsilon,其中,\epsilon双精度浮点相对精度,因为这会引入数值问题。因此,将模型中的任意节点设置为零(接地)不仅在教学上方便,而且还是一种很好的数值建模实践。

当我们在使用有限元方法求解一组域内的电流时,这一点也是相同的。有限元方法可以被认为是基尔霍夫定律的空间分布形式。也就是说,有限元模型本质上只是一个非常复杂的电路图,要对其进行数值求解,我们只需要将建模空间中的任意点设置为接地点。

等等!你的意思是接地的可以是任意一点,而且接地只是一个数值?

我已经能听到一些电力工程师咬牙切齿的声音了,因为“接地”这个词肯定也有非常真实的物理意义。我们还将接地定义为地球电位,即我们脚下连接接地母线的那个大物质球。我们确切地知道它是什么,这是一个非常物理的事情。但从电气建模的角度来看,这意味着什么?

从电学上讲,地球是一大块导电材料,并且(至少就本次讨论而言)具有相对可以忽略不计的电阻。这使“接地”有了第二个定义:与我们模型中的电势分布相比,它是与我们模型接触的域,并且假设当电流流过它时,它的电势变化相对可以忽略不计。

这个新定义与之前的定义明显不同,有时人们称它为“地球接地”。还有“底板接地”或“底盘接地”等类似概念(想想天空中飞行的飞机或汽车的底盘),但即使只是穿过工厂的一个非常大的母线也可以被定义为接地。

这里最大的不同是:我们已经将接地的定义从单点更改为空间体积。这个空间体积代表电流的无限源和汇。也就是说,只要由于电池或发电机存在相对于地的电位差,电子就可以永远流入或流出这个地面域。

出于计算建模的目的,我们甚至根本不需要对这个地面域进行建模;我们只需要指定我们的建模域接触这个域的边界。前面我们已经说过我们将假设该域内的电变化可以忽略不计,因此我们可以证明在整个表面上施加均匀的电势是合理的,并且出于前面描述的数值原因,我们选择零电势。现在,我们已经得出了可用于直流电气系统建模的接地定义:零电势的边界代表一个域,该域是电流的无限源或汇。

接下来,我们将看看这些定义如何影响我们的建模方法。

在 COMSOL Multiphysics® 中模拟电压和接地

考虑一段直的圆形电线。我们假设一端接地,另一端连接电源。

A schematic for a current-carrying wire model, with the ground, electric potential, and current flow labeled.
一部分载流线的模型。

在直流条件下求解电流时,在 电流 接口中使用这些边界条件的组合:

  1. 接地 条件
  2. 电势 条件
  3. 法向电流密度 条件
  4. 终端 条件(仅适用于 AC/DC 模块,MEMS 模块,半导体模块中,或等离子模块)

接地电势 几乎是相同的条件。它们固定整个表面的电势。接地 条件可以简单地将电势规定为零,同时可以通过电势 条件输入不同的值。请记住我们之前的定义:这些边界代表一个域的边界,该域是一个无限的电流汇(或源),并且该域内的任何电势差相对于我们的建模域都可以忽略不计。如果你需要对连接到电池端子的电线进行建模,这些是合适的边界条件。

第三个选项 法向电流密度 指定通过表面进入模型的电流通量。它没有将穿过边界的电势固定成均匀的。带有法向电流密度 条件的模型通常还具有接地 条件,所有注入电流都通过接地流出。

我们还可以建立有一个具有两个 法向电流密度 特征的适定有限元模型,一个流入电流,一个流出电流。只要这些电流的总和恰好为零,就存在解。要找到此解,出于前面讨论的原因,最好将 点接地 条件添加到任意点。但是,有趣的是,在 3D 建模时,我们实际上可以完全省略 点接地 条件,仅保留两个 法向电流密度 特征,只要它们在给定的有限元网格上注入和去除完全相同的电流量。由此产生的问题将是未测量的,但在 3D 模型中,我们使用迭代求解器,它会“选择自己的规范”并仍然收敛,即使电势场受到限制。有关规范固定的更多详细信息,请参阅之前的博客文章“理论介绍:什么是规范固定 ”和“如何在 COMSOL Multiphysics® 中使用规范固定?“。不过,对于非常感兴趣的读者来说,这一点更像是一种数学好奇心。

最后,我们有必要单独说说 终端 条件。终端条件可以选择指定电势,在这种情况下,它在功能上与 电势 条件相同。它还具有指定总电流的选项。指定电流后,终端 条件会应用一个附加方程来求解表面上的电势,从而使所需的总电流流入或流出模型。终端 条件自动计算电阻和其它你感兴趣的数量,因此,如果有任一 AC/DC 模块或所述 MEMS 模块,它通常是优选的选项。还有其他选择用于指定电路连接或指定耗散功率或指定到传输线的终止连接的终端 条件,用于 S 参数计算。这些更高级的条件在我们关于电阻和电容设备的建模注意事项系列讲座中进行了介绍。

一旦我们求解了模型,还需要从中提取数据。通过有限元方法,COMSOL 软件计算场 V(\mathbf{x}),我们可以从中提取电场 \mathbf{E} = – \nabla V,和电流 \mathbf{J} = \sigma \mathbf{E},以及任何这些矢量场的幅度(范数)。请记住,这些场将随着网格细化收敛,除非您的模型中可能包含了您想要求解也可能不想求解的奇点局部。这些奇点在某些情况下反而会随着网格细化影响模型的收敛。

最后,请注意,我们可以对模型中两点之间的电场进行线积分,该积分将等于这两点之间的电势差。由于我们处理的是标量势场,因此该积分与路径无关:

V = \int_C \mathbf{E} \cdot d\mathbf{r}

一旦我们转向时变电磁场的建模,上述等式将电压定义为电场的路径积分,并不总是正确的。这是另一篇博文的主题,敬请期待!

拓展阅读


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