使用 COMSOL® 探索硬度数的不明确性

今天的客座博主来自 Plastometrex 公司和 Double Precision 咨询公司（COMSOL 的认证顾问之一）的 James Dean。他讨论了如何使用有限元建模（FEM）方法了解硬度值，并介绍了 Plastometrex 公司如何利用仿真 App 和 COMSOL Compiler™ 开发出一种可以从压痕测试数据中获得应力-应变曲线的全新产品……

测试硬度的方法有各种各样，并已经被使用了数十年，它们执行快速、简便。由于被测材料的体积很小，因此可以在材料表面上表征硬度值、探索局部变化，并获得薄表面层和涂层的数值。然而，硬度不是一个明确定义的属性。从给定样品中获得的硬度数随测试类型的不同而变化，并且对于同一测试在不同条件下也是如此。经常进行此类测试的人应该都清楚，从具有不同屈服应力和加工硬化特性的材料中可以获得相似的硬度值。今天，我们借助 COMSOL Multiphysics^® 多物理场软件对这种现象进行演示和说明。

硬度数的概念（通过压痕获得）

硬度是材料抵抗塑性变形的度量。通过硬度不仅可以了解屈服应力，还可以了解之后的加工硬化特性，这是很有意思的。硬度数提供了一个将两者结合起来的标准，尽管不是以明确的方式。由于硬度代表的含义具有一定的复杂性，因此它不是一个简单的、定义明确的参数，并且不同的硬度测量方案测出的数值都不同，这并不奇怪。但是，所有这些方案的原理都是相同的，即将指定的载荷施加到硬度计压头上，压头会压入样品中，从而导致塑性变形并留下永久凹陷。硬度值可以通过几种方法获得，但在大多数情况下，是通过测量侧面凹痕的横向尺寸(直径)或穿透深度来实现的。

硬度通常被定义为力（载荷）除以压头与试样之间的接触面积。该比率具有应力维度，尽管通常将其简单地引用为一个数字（单位为 kgf mm^-2）。无论如何，该应力水平与材料的应力-应变曲线，甚至与样品中产生的应力场都没有简单的关系。样品的不同区域将经受不同的塑性应变水平，范围从零（在塑性区域的边缘）到百分之几十（接近压头）不等。即使最大应变水平也不能很好地定义，因为它取决于压头的形状、施加的载荷和塑性特性。尽管材料的应力-应变关系确实可以确定压痕尺寸（对于给定的压头形状和负载），但从后者推断出前者并非易事，并且在常规硬度测试中也从没有尝试过这样做。

布氏和维氏测试

布氏测试于 1900 年被开发，通过使用 3000kg（〜30 kN）的载荷将直径为 10mm 的硬球压入样品。布氏硬度值由下式给出

(1)

其中，F 是施加的载荷（以 kgf 为单位），D（毫米）是压头的直径，而 d（毫米）是压痕的直径（在投影图中）。该公式是以载荷除以接触面积得到硬度值。这类公式基于简单的几何方法，样品的弹性恢复被忽略。此外，在实践中，凹痕周围可能会出现“堆积”或“沉入”现象，从而使真实的接触面积与从理想几何形状获得的实际接触面积不同（并且也难以精确测量直径）。

维氏硬度测试是由Smith和Sandland（Vickers Ltd.）于 1924 年开发的，其主要目标是降低早期试验的负荷要求。将压头从相对较大的球体更改为较小的尖锐形状，可以使用较低的载荷（可以用自重产生）。机器内部通常会提供多个砝码，根据型号的不同，其重量从 1 公斤以下到 50 公斤左右不等。（金刚石）压头是一个直角金字塔形，底部为正方形，相对面之间的夹角为 136°。（锋利的）边缘会促进穿透，并且它们在凹痕中产生的线条有助于测量其大小。

压痕直径 d 通过投影测量（与布氏测试一样）。H_V 的值（载荷除以接触面积）由下式给出

(2)

因此，类似于布氏测试的简单计算，可以通过测量d的值来获得硬度值。与布氏测试一样，样品的弹性回复以及压痕周围的“堆积”或“沉入”现象也被忽略了。

维氏测试使用广泛。实际上，H_V是最常用的硬度值，部分原因是它可以改变载荷。它可以应用于各种金属、薄截面、表面层等。图1显示了一组典型硬度数值（参考资料1），包括各种合金。这些数值是通过对特定样品的压痕尺寸进行仔细测量而获得的。这些数据有助于说明不同金属硬度的典型值，尽管确切的数值应该更加谨慎对待。

图1 一系列合金的维氏硬度数（参考文献1）。

通过将硬度数乘以 g（9.81），可以得出作用在接触面积上的应力（单位 MPa）。该应力与应力-应变曲线没有简单的对应关系。但是，如果忽略加工硬化，则硬度应与屈服应力成比例。对于维氏测试，该关系通常写为

(3)

这些表达式通常用于从硬度测量中获得屈服应力。

使用有限元法获得2种合金的硬度值

通过使用有限元建模模拟压痕过程，可以预测硬度数的值。通过对特定合金（具有定义的应力-应变曲线）进行特定类型的测试来获得硬度数。2 种测试金属为 Ti-6Al-4V（318）和 Hadfield 锰（Mangalloy）钢。这 2 种合金塑性变形的真应力-应变曲线如图2所示。可以看出，两者明显不同，318具有高屈服应力，但加工硬化有限；而 Mangalloy 最初较软，但表现出更多的加工硬化特性。

图2.  318 Ti 和 Mangalloy 合金的应力-应变曲线。

图3显示了使用 COMSOL Multiphysics 对 318 Ti 合金进行布氏和维氏压痕模拟的应力场预测结果。图4 和图5以残余压痕剖面的形式展示了对这2种合金进行的布氏和维氏测试模拟结果。为了将这些剖面图转换为硬度值，在光学显微镜中观察，必须判断压痕的直径是多少。这些观察存在主观性，或者至少取决于成像条件，但是这些图中显示了预期值以及估计的误差范围。

图3. 使用维氏压头进行模拟压痕试验，在峰值施加载荷为 5kgf 时预测的位移场(左)，使用布氏压头在峰值施加载荷为 3000kgf 时预测的 von Mises 应力场(右)。

图4 对 318 和 Mangalloy 合金进行布氏压痕测试后的残余压痕剖面预测

图5 使用 4 种不同的载荷在维氏压痕测试之后预测的 318 Ti （左）和 Mangalloy （右）合金的残余压痕剖面（沿长径）。

以这种方式获得的布氏硬度和维氏硬度值如图6所示，所示的范围对应于图4 和 5 中所示的测量直径的范围。有几点很清楚，尽管这两种合金的应力-应变曲线非常不同（图2），但由此获得的硬度值是相似的——当然是在测量方法预期的实验误差范围内。还可以看出，这些误差范围相对较大，尤其是对于较小（较低负载）的维氏压痕而言。经常进行此类测量的人都熟悉这种变化。此外，尝试将这些硬度值转换为明确定义的参数，例如屈服应力（使用像等式（3）这样的相关性），也可能会有很大误差。对于这两种合金，都将获得约 800MPa 的值，这对于Ti合金来说是可以的（因为它的硬化很少），但对于 Mangalloy 来说却远远不够。尽管大多数获取和使用硬度值的人都了解应谨慎对待硬度值，但实际情况并没有这么理想：无论如何将其视为定量的都可能会产生误导。

图6 从图3 和图4 所示的压痕直径数据得出的硬度值。

压痕塑性测定法

可能更有用的测试是将硬度测试的最佳属性（速度、简便性和多功能性）与常规拉伸测试的最佳属性（即完整的应力-应变曲线的生成）相结合。一种这样的测试方法是压痕塑性测定法，它由 Plastometrex 的科研人员开发，包含三个非常简单的步骤：

1. 材料中会产生球形凹痕（与布氏硬度测试中的情况非常相似）
2. 使用集成轮廓曲线仪测量残留轮廓形状
3. 在定制软件包中分析残留轮廓数据，该软件包使用 COMSOL Multiphysics 中的 App 开发器开发

基本方法从概念上讲非常简单，包括重复进行压痕有限元模拟（使用 COMSOL Multiphysics），直到实验数据集（残余轮廓形状）和模型预测收敛（在本构塑性关系中对参数进行系统更改之后）。但是有几个复杂的因素，包括解“唯一性”和确定最佳测试条件的问题。同样，任何这样的软件包（要在商业上可行）都应该非常迅速地提供解，因此收敛过程必须快速而稳健。实际上，由 Plastometrex 实施的方法确实可以确保在提供残余轮廓数据后的几秒钟内获得完整的应力-应变曲线。整个测试程序，包括创建凹痕和测量轮廓，只需要 3 分钟。

SEMPID 仿真 App 和 COMSOL Multiphysics^® 中的 App 开发器

App 开发器的主要吸引力在于，它允许用户创建独立的应用程序，这些应用程序可以访问 COMSOL Multiphysics 的全部功能，并且许可协议允许此类工具的商业化。COMSOL 创建了一个应用程序，它实现了压痕塑性测定的基础框架，被称为从压痕数据中提取材料特性的软件（Software for the Extraction of Materials Properties from Indentation Data，SEMPID）。App 开发器对于 SEMPID 的开发至关重要，这主要归功于其广泛的本地开发工具以及与 COMSOL Multiphysics 的紧密集成。SEMPID 应用程序能够利用 COMSOL Multiphysics 的许多核心功能，包括结构力学和非线性结构材料模块，其优化工具模块以及高级求解器设置功能，创建了一个定制的 App，现在形成了一个全新的公司基础，Element Materials 技术是其主要投资者。

SEMPID 软件包的功能

SEMPID 应用程序计算了真实的和名义上的应力-应变曲线。然而，它还有一个附加功能，使用户可以实时模拟拉伸测试，并可以捕获应力-应变曲线的颈缩部分。SEMPID 应用程序可以直接比较通过压痕塑性测定法获得的应力-应变曲线和通过常规单轴拉伸试验（当然，这是此新方法有效性的最终检验）获得的应力-应变曲线。

图7 显示了 SEMPID 应用程序的几个屏幕截图以及压痕塑性仪的图像。图中展示的是一组计算出的应力-应变曲线，以及在 SEMPID 应用程序中运行的拉伸试验模拟的结果。

图7 来自 Plastometrex 的压痕塑性仪和使用 COMSOL App 开发器开发的 SEMPID 软件工具的屏幕截图。

压痕塑性仪

压痕塑性仪时与 SEMPID 软件包捆绑在一起购买的，压痕塑料仪是定制的机器，它使用遵循内部开发的机密测试例程的程序化测试协议完全自动化必要的测试程序。压痕塑料仪可以处理各种大小和几何形状的试样，并且可以容纳具有平行边的真实组件。它具有完全集成的电子器件，最大负载容量为 7.5kN，集成了轮廓仪和定制编写的控制软件。它体积轻巧（<40千克）且紧凑，可放置在典型的台式机上。图8所示为在铬镍铁合金 718 上进行的测试验证示例，但该方法适用于所有金属类型。

图8 左图是压痕塑性仪在铬镍铁合金 718 样品中产生的压痕。右侧图是 SEMPID 得出的应力-应变曲线与使用常规机械方法实验测得的应力-应变曲线的比较。

在此快速视频中了解有关压痕塑性计的更多内容。

参考文献

1. S.K. Kang, J.Y. Kim, C.P. Park, H.U. Kim, and D. Kwon, “Conventional Vickers and True Instrumented Indentation Hardness Determined by Instrumented Indentation Tests”, Journal of Materials Research, 25(2): pp. 337–343, 2010.

关于作者

James Dean 博士拥有伦敦帝国学院材料科学学士学位，和克兰菲尔德大学的热力（燃气轮机工程）硕士学位，并获得了劳斯莱斯UTC奖学金。他从剑桥大学材料科学系获得博士学位。从那以后，他在同一部门担任研究助理和高级研究助理职位，并于 2018 年加入卡文迪许实验室的科学计算中心，担任材料科学计算方法博士培训中心的高级教学助理和协调员。2012 年，他创立了Double Precision Consultancy（DPC），DPC 是一家总部位于英国剑桥的公司，专门为工业客户提供高级数学建模服务。DPC 现在是仅有的五个英国 COMSOL 认证顾问之一。2018 年末，他与其他人共同创立了 Plastometrex 公司，现在担任公司首席执行官。