模拟波动光学的非近轴高斯光束公式

2018年 6月 26日

在之前的博客文章中,我们讨论了近轴高斯光束公式。今天,我们将讨论更精确的高斯光束公式,COMSOL® 软件从5.3a 版本开始提供此公式。这种基于平面波展开的公式可以比传统的近轴公式更精确地处理非近轴高斯光束。

高斯光束的近轴性

众所周知的高斯光束公式仅适用于近轴高斯光束。近轴意味着光束主要沿光轴传播。有几篇论文从量化的角度讨论了近轴性(见参考文献 1)。

大体来说,如果束腰尺寸接近波长,则光束以更大的角度传播到焦点。因此,近轴假设行不通,公式不再准确。为了缓解这个问题,并提供一个更通用、更精确的高斯光束公式,我们引入了一个非近轴高斯光束公式。在用户界面中,这个公式称为平面波展开

该方法基于平面波的角谱参考文献 2),有时也称为角谱法参考文献 3)。

平面波的角谱

我们简要回顾一下二维中的近轴高斯光束公式(为了获得更好的视觉效果和理解)。

我们先采用假设时谐场的麦克斯韦方程组,从中得到以下亥姆霍兹方程,用于波长为 \lambda 的偏振选择为面外的电场:

\left ( \frac
{\partial^2}{\partial x^2} +\frac{partial^2} {\partial y^2}
+ k^2 \right ) E_z = 0,

其中 k=2 \pi/\lambda。

平面波的角谱基于以下这个简单事实:满足上述亥姆霍兹方程的任意场 可表示为以下平面波展开:

E_z(x,y) = \int_
{k_x^2+k_y^2=k^2}
A(k_x,k_y)e^
{i(k_x x +k_y y)}
dk_x dk_y,

其中 A(k_x,k_y) 是任意函数。

对于实数 k_x 和 k_y,积分路径是一个半径为 k 的圆。(对于复数 k_x 和 k_y,积分域延伸到复平面。)函数 A(k_x,k_y) 称为角谱函数。我们可以通过直接替换证明 E_z 满足亥姆霍兹方程。

既然我们知道这个公式总能给出亥姆霍兹方程的精确解,那么我们试着直观地理解它。根据约束 k_x^2+k_y^2=k^2,我们可以设置 k_x=k cos(\varphi) 和 k_y=k sin(\varphi),并将上面的公式重写为:

E_z(x,y) = \int_{-\pi/2}^
{\pi/2} A(\varphi)e^{ik(x \cos \varphi +y \sin \varphi)}d \varphi

上述公式的含义是,它将波构造为向不同方向传播的许多波组成的和或积分,所有波都具有相同的波数 k,如下图所示。

平面波角谱的图示。
平面波角谱的可视化效果。

当用这个公式实际求解问题时,你所要做的就是找到满足边界条件的角谱函数 A(\varphi)。通过假设横向场的轮廓(垂直于传播方向,即光轴)也是高斯形状(参见参考文献 4),可以推导出 A(\varphi) = \exp(-\varphi^2 / \varphi_0^2) , 其中 \varphi_0 是光谱宽度

通过一些数学运算,我们得到了光谱宽度 \varphi_0 与束腰半径之间的关系 w_0。例如,对于慢速高斯光束,角谱很窄。另一方面,平面波是角谱函数为 δ 函数的极端情况。对于快速高斯光束,角谱较宽,反之亦然。

这是非近轴高斯光束基础理论的简要概括。为了回顾到目前为止我们所展示的内容,我们使用极坐标再次重写公式 x=r \cos \theta,\ y = r \sin \theta:

E_z(r,\theta) = \int_{-\pi/2}^{pi/2}
e^{-\varphi^2/\varphi_0^2} e^
{ikr \cos (\theta-\varphi)}
d \varphi.

这是 Born 和 Wolf(参考文献 2)在他们的书中使用的表述。

三维公式较为复杂,由于发生偏振,看起来有所不同,但基本思想与上述参考文献中的相同。根据你是否考虑倏逝波,它也可能有所不同。波动光学模块 RF 模块中使用的平面波展开方法虽然基于角谱理论,但适用于数值计算。

平面波展开:设置和结果

我们将新特征平面波展开 与之前的特征近轴近似 进行比较。包含这两种方法的设置 窗口如下所示。

COMSOL Multiphysics 中“电磁波,频域”设置的屏幕截图。
平面波展开特征设置。

使用新特征情况下,如果自动 设置无法给出令人满意的近似值,有两个选项可以选择:

  1. 波矢数
  2. 最大横波数

第一个选项决定离散化级别的数量,具体取决于你想要表示高斯光束的精细程度。平面波越多,越精细。第二个选项与前一个方程中的积分界限有关;即 -\pi/2 \le \varphi \le \pi/2。根据高斯光束的速度,对于可能的最小光斑尺寸,积分界限可以是最大值 \pi/2,对于较慢的光束,积分界限可以更浅。你需要更多有角度的平面波和更大的横波数来表示更快(更集中)的光束。

以下结果比较了光斑半径为 \lambda/2 情况下的两个公式,该半径为非近轴性。与上一篇博客文章一样,仿真是用散射场 公式完成的,并且域由完美匹配层(PML)包围。这样,散射场表示精确亥姆霍兹解的误差。

下面的左图显示了新特征,右图显示了近轴近似。顶部图像显示了计算的高斯光束背景场的模 ewfd.Ebz,底部图像显示散射场模  ewfd.relEz,它表示精确亥姆霍兹解的误差。显然,在非近轴方法中,亥姆霍兹解的误差大大减小。
显示计算的高斯光束背景场的模和散射场模的波动光学仿真结果。
平面波角谱与近轴公式的比较。

结束语

我们讨论了用新的平面波展开方案近似非近轴高斯光束的理论和结果。这个公式非常精确,但在假设条件下仍然是近似值。首先,我们假设焦平面中的场形状。其次,我们假设倏逝场为零。如果关注快速高斯光束聚焦区附近的某些纳米结构的场耦合,你可能需要计算倏逝场。

后续操作

单击下面的按钮,了解更多关于 COMSOL® 软件中用于大规模光学问题建模的公式和特征:

注:此功能也可以在 RF 模块中找到。

参考文献

  1. P. Vaveliuk, “Limits of the paraxial approximation in laser beams”, Optics Letters, vol. 32, no. 8, 2007.
  2. M. Born and E. Wolf, Principles of Optics, ed. 7, Cambridge University Press, 1999.
  3. J. W. Goodman, Fourier Optics.
  4. G. P. Agrawal and M. Lax, “Free-space wave propagation beyond the paraxial approximation”, Phys. Rev. a. 27, pp. 1693–1695, 1983.

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