由于具有适用性强、低成本和特殊的热性能等特点，多孔材料的应用范围越来越广泛。例如，因具有优异的机械和热性能，泡沫材料越来越多地用于不同的航空应用。在电动汽车所用的电池中也发现了多孔结构。我们甚至在自然界中发现了无数多孔材料，例如土壤，岩石和木材。当使用它们时，我们会利用它们的热性能。多孔材料的许多工业应用均要求它们具有优良的热性能。
微观层面的热传递
让我们从微观层面上仔细研究多孔结构中的热传递。正如我们之前的博客文章中所讨论的，我们使用这些发现来验证和理解宏观层面的流动方程。在该示例中，流动是等温的，因此我们不研究孔隙几何结构在热传输中的意义。由于流体的热性能可能与固体的性质显著不同，因此，它们之间的相互作用对于理解热传递如何在多孔介质中工作至关重要。
一个冷却的多孔结构的温度演变过程。初始局部不平衡会随时间达到热平衡。
使用与之前的博客文章中相同的示例，并注入比多孔基质热得多的流体。我们观察到，多孔基质 T_\textrm{s} 和流体的温度 T_\textrm{f} 最初不相同，并且随着时间变化逐渐达到平衡。当然，这取决于边界条件以及流体和固体的热性质。在许多应用中，该假设 T_\textrm{s}=T_\textrm{f} 是有效的，我们称其为（局部）热平衡；而在其他应用中，该假设是无效的，我们称其为（局部）热非平衡T_\textrm{s}\neq T_\textrm{f} “局部”是指温度T_\textrm{f} 和 T_\textrm{s}的逐点比较。
热平衡下的热传递
在局部热平衡假设下，我们只需要一个方程来描述整个（固体和流体）多孔结构的平均温度。基于能量守恒以及应用混合规则，热传递方程式可以表达为
(1)
显然，这与众所周知的传热方程式非常相似。流体和多孔介质的热特性被组合为有效特性，即有效体积热容和有效导热率。
式中，指数\textrm{f}和 \textrm{s}分别代表流体和固体， \rho 是密度 C_p 为恒压下的热容，\theta_\textrm{s} 为固体体积分数。假设为完全饱和的多孔介质，孔隙率将对应于流体体积分数 \theta_\textrm{f} =1-\theta_\textrm{s}。
对于热传导，有效的热导率 k_\textrm{eff} 取决于多孔介质的结构以及固体和流体的热导率。该软件提供了三个选项来计算有效导热率k_\textrm{eff} :
- 体积平均值，代表与热通量平行的固体和流体条纹 k_\textrm{eff}=\theta_\textrm{s} k_\textrm{s} + \theta_\textrm{f} k_\textrm{f}
- 倒数平均值，垂直于热通量的固体和流体条纹 \frac{1}{k_\textrm{eff}}=\frac{\theta_\textrm{s}}{k_\textrm{s}} + \frac{ \theta_\textrm{f}}{k_\textrm{f}}
- 幂定律，对于固体和流体具有相似热导率的随机几何k_\textrm{eff}=k_\textrm{s}^{\theta_\textrm{p} }\cdot k_\textrm{f}^{\theta_\textrm{f}}
下面，我们通过使用多孔材料的人工示例来说明这三种平均技术，并将不同选项的结果与计算值进行比较。
使用不同有效导热系数选项计算的平均温度比较。从左至右：固体（灰色）和液体（蓝色）材料分别以并行，平行和格纹的方式排列。热通量是由上下边界之间的规定温差产生的。
上述图示表明，结构越精细，由倒数平均值和幂定律计算的近似值越好。真正的有效导热系数介于体积平均值和倒数平均值之间，根据 混合物的规则，分别对应上限和下限。如果对流是主要作用，那么混合规则对热导率的作用就不那么重要了。
多孔材料也可以由几种固体和不流动的流体组成。例如，由不同矿物质和截留的液体组成的岩石。也可以在模型中考虑这一点，有效材料属性也相应地被计算。例如，可根据k_\textrm{s}=\displaystyle\sum_{i=1}\theta_{\textrm{p}i}k_{\textrm{s}i}来计算由 i 种不同材料组成的多孔基质的体积平均导热率。
热分散
热分散是与多孔微结构有关的另一个重要作用。通常，对于以对流为主的状态，流体在孔隙尺度上遵循旋涡状路径，从而增强了固相和液相之间的热交换。宏观上，这是通过对热传递方程式 (等式1), k_\textrm{disp}=\rho_\textrm{f} C_{p,\textrm{f}} D_{ij}有贡献的附加热导率来描述的, 其中D_{ij} 是由于快速速度场而导致的分散张量。
我们将计算结果与之前博客文章中示例的平均温度结果相比较。下图显示了通过微尺度方法计算出的平均温度，以及从具有和不具有热分散的平均宏观方程式中获得的值。
微观和宏观方法的平均温度比较。包括热分散时，会更好地匹配。
热非平衡下的热传递
如本篇博客文章开头所述，局部热平衡并不总是能达到的。特别的，对于快速的非等温流动，较短的时间尺度，或在强烈依赖于其他影响（例如相变）的情况下，固体和流体温度之间的差异可能很大。此时 等式 1 并不完全有效，必须分别考虑各相的能量平衡，并且必须以显式方式考虑两相之间的热交换。这是通过两个温度模型完成的。局部热非平衡方法 方法 (参考文献 1)求解了两个温度场，并通过热源热沉将它们耦合：
\theta_\textrm{s}\rho_\textrm{s} C_{p,\textrm{s}} \frac{\partial T_\textrm{s}}{\partial t} + \nabla\cdot(-\theta_\textrm{s} k_\textrm{s} \nabla T_\textrm{s}) &= q_\textrm{sf}(T_\textrm{f}-T_\textrm{s})\\
\theta_\textrm{f}\rho_\textrm{f} C_{p,\textrm{f}} \frac{\partial T_\textrm{f}}{\partial t}+\rho_f C_{p, \textrm{f}}\mathbf{u}\cdot\nabla T_\textrm{f} + \nabla\cdot(-\theta_\textrm{f} k_\textrm{f} \nabla T_\textrm{f})&=q_\textrm{sf}(T_\textrm{s}-T_\textrm{f})
\end{align}
固体和流体之间的热交换由右侧的项考虑，其中 q_\textrm{sf} (W/(m3 K)) 是间隙热传递系数，其取决于相的热性质以及多孔介质的结构；更确切地说，是接触的比表面积。
一个很好的示例是非平衡传热的热能存储（TES）装置。该设备的工作原理如下：水被太阳能集热器加热，并通过装有石蜡填充胶囊的水箱循环。在装料期间，将胶囊内的石蜡加热到其熔化温度以上，太阳能即以显热和潜热的形式被存储，从而可以在更长的时间内存储更多的能量。
储热装置的运行原理和填充床的局部非平衡多物理场耦合节点。
在储热期间，油箱中的石蜡、水和平均温度。
与水相比，包封的石蜡加热时间更长，因此仅靠水温无法估算出水箱充满之前的时间。局部非热平衡的多物理接口可以耦合水和石蜡中的热传递。
多孔介质传热建模
我们从微观和宏观两个层面仔细研究了多孔介质中的传热机理。具有有效热特性的宏观方程能够近似模拟多孔介质中的均匀传热模。COMSOL Multiphysics®软件中还包含孔尺度流量的复杂计算。例如，您可以通过计算传热方程模拟代表性的基本体积 (REV) 以获得大型的、现实应用中的平均值。
参考文献
- D. A. Nield and A. Bejan, Convection in Porous Media, 4th ed. Springer, 2013.
动手尝试
单击下面的按钮，尝试模拟本博客文章中介绍的填充床潜热存储模型。您可以在案例库中下载MPH文件。请注意，您将需要一个COMSOL Access帐户和有效的软件许可证才能下载该文件。
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