使用广义拉伸算子建立旋转模型

模拟受载荷工况影响的旋转物体是一种常见的仿真场景。有很多种方法可以模拟这种旋转。这篇博客，我们将使用广义拉伸算子来解决这个问题，并讨论为什么这种方法有用。

一个实用案例：通过旋转的方式烤肉

受载荷工况影响的旋转物体有很多。例如，烤鸡或烤肉串，旋转烤架上的肉会受到热载荷的影响，这种热载荷通常由煤块等热源辐射产生。旋转是一种简单有效的热量分配方式，它能够避免烤盘任一区域发生过热或过冷，从而轻松实现均匀加热。

您可能已经迫不及待了，下面我们就来看一个简单的案例。

激光加热旋转硅晶圆

我们来看一个激光加热旋转硅晶圆的案例。虽然此案例不像旋转加热的食物那样让人垂涎欲滴，但我相信这个案例同样会给您带来启发。

您可能已经在 COMSOL 软件案例库中或者 COMSOL 官网的案例下载页面见过这个案例：通过表面往复移动的激光加热旋转平台上的晶圆。这个问题是在一个固定的坐标系求解的，即 全局坐标系 (可以想象自己站在工艺室外面，观察晶圆在平台上旋转）。

在这个案例中，激光被模拟为沿着全局坐标系中的 x 轴往复移动的热源，晶圆则绕全局坐标系中的 z 轴旋转。晶圆的旋转是通过 固体传热 物理场接口中的 平移运动 特征模拟的，该特征在瞬态传热控制方程中增加了一个对流项：

上述方程的右侧项考虑了晶圆的旋转情况，其中 \mathbf{u} 是速度矢量。这个速度矢量可以解释为材料进入和离开有限元网格中的每个单元，也就是说，我们是在欧拉坐标系求解这个问题的。由于晶圆的几何形状是一个均匀的圆盘，施加的速度矢量描述了绕圆盘轴线的旋转，因此这种方法合理有效。

但缺点是当需要在模型中引入更多的物理场时，平移运动 特征仅在传热物理场中可用，而对于许多其他物理场，我们不想在欧拉坐标系中求解。

作为替代方案，我们可以在拉格朗日坐标系中用随晶圆材料旋转的旋转坐标系来求解。(您可以把自己想象成一个站在晶圆表面的小人，这样周围的环境看起来是旋转的，而晶圆看起来是静止的）。

这样，上述传热控制方程的右侧项就变成了零，但现在我们需要考虑一个热载荷，它不仅沿全局 坐标系的 x 轴往复移动，还绕旋转坐标系的 z 轴旋转。这听起来很复杂，但实现起来其实很简单。

在全局坐标系中，观察者会看到一个激光热源沿 x 轴往返移动的旋转晶圆（左）。在旋转坐标系中，随晶圆一起旋转的观察者将观察到晶圆是静止的，但热源在 x-y 平面上沿着复杂的路径移动（右图）

通过广义拉伸算子实现旋转

广义拉伸算子 提供了一种机制，可以将一个坐标系中的场变换到另一个坐标系。关于这类应用，我们之前已经介绍过，包括但不限于子模型, 耦合不同的物理场接口，以及计算移动点的结果。

在此，我们将使用广义拉伸算子对施加的载荷进行旋转变换。通过由下列旋转矩阵给出的全局坐标系的坐标变换，在旋转坐标系中施加模拟中的载荷：

我们以一个已有的硅晶片激光加热案例为例来说明，先简单地移除模型中的平移运动特征。然后需要添加一个广义拉伸算子来实现上述变换，如下方截图所示。同时，还需要添加第二个算子来施加反向变换，这可以通过改变旋转坐标系的符号完成。

使用广义拉伸算子施加一个旋转变换。

施加的热载荷是通过一个用户定义的函数 hf(x,y,t) 来描述的，该函数描述了激光加热载荷如何在全局坐标系中沿 x 轴往复移动。通过广义拉伸算子将这个移动载荷变换到旋转坐标系中，如下面截图所示。

在旋转坐标系中施加热载荷，通过全局坐标系和旋转变换定义。

就这样简单，现在您可以像上文提到的案例模型中那样求解这个模型。

现在，结果是在旋转坐标系中计算的。对我们来说，通过广义拉伸算子施加 反向 变换，在全局坐标系中绘制温度的解可能更符合实际。这样，我们就可以将温度场可视化，就像我们站在工艺室外面，用热成像仪观察旋转中的晶圆一样。

第二个广义拉伸算子用于将结果旋转回全局坐标系。

结束语

无论您使用的是平移运动特征还是广义拉伸算子，随时间变化的温度场模拟结果都是相同的。尽管广义拉伸算子需要更多的计算资源，并且需要更长的求解时间，但如果您感兴趣的不仅仅是热模拟的解，就需要使用它。

例如，如果您还需要计算由温度驱动的化学扩散和反应过程，或者计算晶圆加热过程中热应力的演变，这些问题就应该使用随晶圆旋转的坐标系求解。

当然，还有许多其他的应用可以使用广义拉伸算子，但我希望今天介绍的内容能够解决您的问题。