材料模型在描述、预测和理解材料的物理行为方面发挥着重要作用，它们描述了材料对力、热或电压等外部激励的响应。大多数材料模型是基于实验数据和观察结果，而非基本物理原理建立的，本质上是唯象的。描述线弹性现象的胡克定律就是一个典型的例子，它被广泛应用于各个领域。为了使唯象的材料模型在计算上可行，必须进行许多简化和假设，但这限制了它们在某些工况条件下的使用。因此，在实际应用中使用材料模型之前，了解其在标准载荷配置下的响应至关重要。这些配置称为 标准材料测试，可作为验证的基准。这篇博客，我们将探讨如何在 COMSOL Multiphysics® 软件中测试数值模型。
本文是关于数值材料模型应用系列博客的第二部分。在第一部分，我们介绍了如何估算材料模型的参数。点击此处，阅读第一部分。
材料测试和测试材料功能
博客从测量中获取结构力学的材料数据中介绍了在实验室进行的一些常见的材料测试类型。然而，测试某种特定材料与测试其数值材料模型之间存在差异。正如这篇博客中所述，橡胶本身具有弹性，但当其浸入液氮后会变得像玻璃一样脆。相反，天然脆性的玻璃在加热后会变得具有黏弹性。因此，在不同工况条件下，一种材料可能需要使用不同的材料模型才能准确描述其行为。当在实验室测试某种特定材料时，许多因素都会影响测试结果，如试样的尺寸和几何形状、施加的载荷、边界条件、操作条件和时间相关性。然而，特定材料模型的数值测试通常较为简单，使用的操作参数较少。
大多数材料模型本质均属于唯象学范畴，它们是对真实物理行为的数值近似描述。这些模型基于不同标准测试获得的实验测量结果建立。尽管唯象模型并非源自物理定律，但这些定律对材料模型的数学构造和材料属性的可能值施加了限制。因此，即使对成熟的材料模型，也必须谨慎地选择材料属性，并评估它们在不同标准测试中的响应。此外，采用不同测试验证数值材料模型还有其他原因，例如：
- 通过比较数值结果和实验结果，评估材料属性的正确性
- 在进行数值模拟之前找到有效的应力和应变范围
- 检查应力和应变分量的方向依赖性
- 检查是否存在材料不稳定性，如极限点不稳定性
COMSOL Multiphysics 软件 6.1 版本的 固体力学 接口增加了一项名为 测试材料 的新功能，它提供了一系列标准测试，可用于对不同的材料模型进行验证,这些测试包括
- 单轴试验
- 双轴试验
- 剪切试验
- 各向同性试验
- 固结试验
- 三轴试验
测试材料 功能的设置，选择 单调 选项作为测试设置。
功能设置中的域选择决定测试哪个材料模型。用户可以随时更改 测试材料 功能的域选择，或使用多个 测试材料 功能测试多个材料模型。该功能的 材料测试 部分包含一个名为 自动模型设置 的操作按钮文件夹。该按钮文件夹包括用于设置和删除测试的按钮。单击 设置测试 按钮可执行以下操作：
- 创建一个新的 3D 组件。
- 创建预定义大小的 3D 块几何体。其大小由 试样尺寸 定义；默认为 1 m大小的块。
- 该组件添加了一个新的 固体力学 接口。位移离散化设置为线性。
- 与所选测试相对应的边界条件和载荷将被添加到新的 固体力学 接口中。
- 创建一个包含一个单元的网格节点。
- 新增一个稳态或瞬态研究节点。
- 在稳态或瞬态研究中添加一个停止条件。当网格完全塌陷时，停止加载。
- 结果 节点中会添加一组默认绘图。
试样大小会影响某些材料模型。在这种情况下，需要更改 3D 块的大小，可以在 试样尺寸 列表中选择用户自定义选项。
用于不同测试的几何结构。数字表示 COMSOL Multiphysics 中的边界选择编号。
材料测试可以是稳态的，也可以是瞬态的。瞬态测试对于测试蠕变、黏弹性等瞬态材料模型非常重要。研究类型可以通过 研究设置 列表选择。选择瞬态选项时，用户界面上还会出现测试时间的输入。除 研究设置 列表外，测试设置 列表也定义了材料测试的设置，其中包括以下选项：
- 单调:对于没有滞后和耗散效应的材料模型，单调试验足以描述其行为。此类材料模型的常见例子包括弹性材料，加载和卸载材料会产生相同的应力应变响应。通过 单调 选项，您可以更改所选材料测试的测量点数量。所有六种材料测试均可使用该选项。
- 循环: 对于包含非弹性效应的材料模型，滞后和耗散是其固有特性。它们的加载和卸载响应是不同的。对于这类材料模型，有必要进行材料循环测试。任何弹塑性材料都属于此类。使用 循环 选项，除了调整测量点数量外，还可以调整循环次数。该选项只能进行单轴和各向同性试验。
- 用户定义: 顾名思义，您可以借助以主拉伸或主作用力编写的函数来运行材料测试。与前两个选项相比，该选项具有更大的灵活性。在稳态研究中，需要一个辅助参数作为函数的独立参数，而在瞬态研究中，时间则是函数的独立参数。该选项仅适用于单轴、双轴和各向同性试验。
接下来的部分，我们将讨论每一种材料测试选项的设置。
材料测试选项
单轴试验
测试示意图：边界 6 的指定法向位移；边界 1、2 和 3 的法向位移受约束。
研究金属材料时最常使用拉伸试验。通过这种试验可以获得许多材料属性，如杨氏模量、泊松比、屈服强度等。对于一些承受拉伸载荷能力较弱的材料（如混凝土），单轴压缩试验比单轴拉伸试验更受欢迎。借助 测试材料 功能，您可以通过单轴拉伸或压缩试验获取单轴应力-应变关系、弹塑性模型的应变硬化、材料的滞后性等。为了使用 测试材料 功能进行单轴测试，必须给出拉伸范围。最小拉伸范围 \lambda_\textrm{min} 表示压缩极限，最大拉伸范围 \lambda_\textrm{max} 表示拉伸极限。可通过设置 \lambda_\textrm{max} = 1 实现单轴压缩试验，可通过设置 \lambda_\textrm{min} = 1 实现单轴拉伸试验。输入值必须满足 \lambda_\textrm{min} < \lambda_\textrm{max} 关系。
在上文提到的博客：从测量中获取结构力学的材料数据中，有一段动画演示了三种不同材料模型的单轴拉伸和压缩试验：线弹性材料、各向同性硬化的弹塑性材料和运动硬化的弹塑性材料。使用 测试材料 功能可以轻松生成类似的结果。测试材料 功能可自动设置运行不同材料测试所需的模型，并将重要结果显示为默认图。这使整个材料测试过程得以简化，用户只需单击鼠标即可执行操作，无需手动设置模型。
材料测试结果计算完成后，可使用 测试材料 的 移除测试 按钮轻松删除模型开发器中的自动生成节点。这可以确保当所选材料模型完成所需的测试，用户可以过渡到主仿真。
使用 测试材料 功能对不同材料模型进行单轴拉伸和压缩试验时所产生的应力应变响应。
现在，让我们来探讨对于更复杂的构成定律，数值材料模型测试的重要性。参考文献1 提出了一种九参数 Mooney– (MR) 材料模型，并增加了与应变速率相关的附加项，专门用于聚脲弹性体材料。这种广义的、几乎不可压缩的 MR 材料可使用应变能密度函数表示为
对于九参数 Mooney–Rivlin 材料，m= 3, n= 1, 和 C_{00} = C_{13} = C_{31} = C_{23} = C_{32} = C_{33} = 0。参考文献1 提出了一种取决于应变速率的修正应变能量密度：
式中, \mu是应变速率参数，\dot{\epsilon}是真实应变速率，\dot{\epsilon}_\textrm{ref}是参考应变速率。由拉伸测试实验确定的材料属性有：
| C_{10} \mathrm{(MPa)} | C_{01} \mathrm{(MPa)} | C_{20} \mathrm{(MPa)} | C_{02} \mathrm{(MPa)} | C_{11} \mathrm{(MPa)} | C_{30} \mathrm{(MPa)} | C_{03} \mathrm{(MPa)} | C_{12} \mathrm{(MPa)} | C_{21} \mathrm{(MPa)} | \kappa \;\mathrm{(MPa)} | \mu |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 203 | -185 | 28,146 | 27,379 | -55,745 | 3264 | -7800 | 14,219 | -14,283 | 3600 | 0.17 |
参考文献1的作者提出在原始 MR 应变能密度函数中增加一个乘数因子。在第一种载荷情况下，他们考虑 \dot{\epsilon} = \dot{\epsilon}_\textrm{ref} = 0.02/s ，从而将修正后的应变能密度降低为原始 MR 应变能密度。本文使用 测试材料 功能进行单轴拉伸和压缩试验时考虑了这种情况。单轴拉伸试验的结果与参考文献 1 中的结果在定性层面保持一致。由于数值模拟使用的试样不同，数值上会有一些微小偏差。然而，单轴压缩试验的结果是不合逻辑的，因为在压缩到一定程度后，压缩应变对应的单轴应力变为了正值。此外，只要应力与应变的曲线出现非正斜率，模拟就会失败。这清楚地显示了在测量应变状态范围之外应用曲线拟合材料模型的风险。在这种情况下，材料模型仅适用于拉伸状态。因此，如果您对材料参数的来源不确定，则有必要检查不同相关应变状态下的响应。
左图和右图分别显示了单轴拉伸和压缩试验的应力-应变响应。
COMSOL 案例中的混凝土损伤-塑性材料测试案例使用 测试材料 功能观察损伤–塑性耦合混凝土模型在不同载荷条件下的响应。这个案例运行了三次单轴试验：
- 单轴单调拉伸和压缩
- 单轴循环加载（从拉伸到压缩再到拉伸）
- 单轴循环加载（从压缩到拉伸）
左图：单轴单调拉伸和压缩试验的应力-应变响应。右图:单轴循环加载试验（拉伸-压缩-拉伸）的应力–应变响应。黑色虚线表示单轴单调试验的应力–应变响应。
单轴单调拉伸和压缩试验的结果表明，混凝土在压缩状态下与拉伸状态下具有不同的特性。由于不可逆变形，循环试验的结果与单轴试验相比有很大不同。在循环试验中，所有可用的塑性变形都发生在试样受拉并开始开裂时。因此，当应力反转为压缩时，不会出现塑性硬化；相反，在软化开始之前，反应都是弹性的。
双轴试验
试验示意图：边界 5 和 6 的指定法线位移；边界 1、2 和 3 的法线位移受限。
对于各向异性材料，应力-应变关系变得复杂，为了描述其本构定律，必须考虑应力和应变的多轴性。双轴试验可以创建多轴加载状态，从而能够计算材料在拉伸、压缩和剪切综合应力下的响应。与单轴试验一样，双轴试验也需要用户输入 \lambda_\textrm{min} 和 \lambda_\textrm{max}。此外，双轴试验还需要一个双轴率 \beta 。双轴比决定了第二主方向的载荷大小。
混凝土损伤–塑性材料测试案例使用 测试材料 功能运行了单调双轴压缩试验。一个主方向上的应力与三个主方向上的应变呈现出不同的关系，这比之前讨论的单轴试验结果更能说明问题。
双轴单调压缩试验的应力–应变响应。
COMSOL案例库中的非恒定载荷下的初级蠕变案例展示了如何使用 测试材料 功能评估材料在非恒定单轴和双轴载荷下的蠕变行为。对于 Norton 蠕变模型，可以使用分析公式，因此可以使用 测试材料 功能来设置试验，并将数值结果与分析或实验结果进行比较。
剪切试验
试验示意图：边界 1 和 6 的切向位移为指定值；边界 1、3 和 6 的法向位移为约束值。
剪切试验对于了解材料对剪切加载的响应以及确定材料属性（如剪切模量）非常重要。虽然许多材料对拉伸和压缩载荷响应良好，但由于材料层的内部滑动或滑移，它们在剪切载荷下可能表现不佳。在剪切载荷占主导地位的应用中，有必要在使用前评估材料对此类载荷的响应。测试材料 功能只需用户输入最大剪切角 \theta_\textrm{max}，即可进行简单的剪切测试。
在 通过搭接剪切试验估算超弹性材料参数博客中，特邀作者讨论了一个简单的搭接剪切试验。在这篇博客中，通过曲线拟合方法，利用从搭接剪切试验中获得的实验结果来获得 Yeoh 超弹性材料模型的材料属性。几乎不可压缩的Yeoh材料的应变能密度可写成
式中， \bar{I}_1 是弹性右柯西–格林变形张量的第一个等体积不变量， J_\textrm{el} 是弹性体积比。优化后得到的材料属性见下表。
| 材料属性 | 值（MPa） |
|---|---|
| c_1 | 0.656 |
| c_2 | 0.034 |
| c_1 | -0.00072 |
| \kappa | 656 |
本文仅转载并介绍该博客中的结果（见下图）。
左图：搭接试验的实验结果和数值模拟的力-位移曲线。右图：根据搭接试验的数值模拟结果得出的基于全域平均值的剪应力–剪切应变曲线。
本文，我们将使用上述博客中的本构定律和材料属性，并使用 测试材料 功能进行简单的剪切试验。测试材料 功能获得的剪切应力-剪切应变响应曲线与上述实际搭接试验获得的曲线非常接近。实际搭接试验中的试样设计尽可能接近于产生均一的纯剪切。这样就可以与 测试材料 功能的响应进行比较。
使用 测试材料 功能进行剪切测试时产生的剪切应力-剪切应变响应。
各向同性试验
试验示意图：边界 4、5 和 6 的指定法线位移；边界 1、2 和 3 的法线位移受约束。
土壤、混凝土和岩石的本构定律具有非线性和弹塑性的特点。与金属不同，土壤中的塑性不能归类为 J2 塑性，因为它依赖于静水压力。由于土壤不能承受拉力，各向同性压缩试验是土壤力学中的基本试验。该试验可用于了解土壤对三轴压缩的响应。与单轴试验一样，各向同性试验也需要用户在 测试材料 功能中输入 \lambda_\textrm{min} 和 \lambda_\textrm{max}。
COMSOL 案例库中的使用 修正剑桥黏土材料模型模拟各向同性压缩试验教程模型展示了如何使用 测试材料 功能生成修正剑桥黏土材料模型的各向同性压缩响应。空隙比与压力对数之间的关系可以从试验中恢复，这是该本构定律的基本关系。
各向同性试验的空隙率–压力响应。
固结试验
试验示意图：边界 6 的指定法向位移；所有其他边界的法向位移均受约束。
固结试验是一种特殊类型的单轴试验，在这种试验中，一个边界被拉伸或压缩，同时约束其他边界。该试验在土壤力学中也称为 固结试验，用于确定土壤在垂直荷载作用下的固结特性。在 测试材料 功能中，仅需一个用户输入项 \lambda_\textrm{min} 就可以运行该测试。
三轴试验
试验示意图：第一步为各向同性压缩。第二步，在边界 6 上指定法向位移；边界 1、2 和 3 的法向位移受约束。
三轴试验广泛用于确定土壤和岩石材料在多轴应力条件下的物理性质、应力–应变响应和失效标准。如前所述，土壤的塑性模型取决于剪应力和平均应力；因此，三轴试验对于了解土壤的行为非常重要。三轴试验包括两个步骤：第一步是各向同性压缩，第二步是单轴压缩。第一步使土壤固结，根据固结情况，随后的应力路径会因第二步产生的剪应力而改变。测试材料 功能有两个三轴测试输入：第一个是 原位应力 ，第二个是 轴向拉伸 \lambda_\textrm{min}。
博客：通过仿真分析三轴试验方法讨论了三轴试验及其在地质力学中的重要性。COMSOL 案例中的三轴试验案例详细设置了三轴测试。在该示例中，测试的是具有 Drucker–Prager 塑性材料模型的线弹性材料。如果在现有设置中使用 测试材料 功能进行三轴测试，结果将与示例中的结果一致。 测试材料 功能为现有的详细模型设置提供了一个快速、简便的替代方案。
三轴试验的 von Mises应力-轴向应变响应。
请注意，文中的示意图和说明考虑了拉伸范围的用户输入。但是，当 测试设置 设置为 用户定义 时，会出现一个额外的用户输入，即测试控制。当 测试控制 设置为力驱动时，用户输入可指定为压力。
总结
在大尺度模拟中使用数值材料模型之前，需要通过简单的材料试验对其进行评估和测试。材料测试功能可以帮助实现这一目的。用户使用 材料测试 功能可以方便、快捷地设置多个测试，评估材料响应。如果不需要，还可以清除自动生成的模型节点。
参考文献
- D. Mohotti et al., “Strain rate dependent constitutive model for predicting the material behaviour of polyurea under high strain rate tensile loading,” Materials & Design, vol. 53, pp. 830–837, 2014.
扩展学习
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