哥伦比亚大学的博士后研究员 Enrico Di Lucente 和助理教授 Michele Simoncelli 作为客座博主，探讨了如何利用 COMSOL Multiphysics® 软件中的物理场开发器，开发声子流体动力学自定义物理场接口，用以研究真实几何结构中的非扩散传热现象。
在具有超高热导率的介电材料中，热量传递往往会打破传统扩散规律的限制，表现出类似流体的行为：例如形成涡流、呈现温度波，甚至在局部区域逆着温度梯度回流。在这篇博文中，我们将介绍为 COMSOL Multiphysics® 软件开发的声子流体动力学自定义物理场接口，并展示连续介质模型如何捕捉超越傅里叶定律的粘性传热现象。
为什么要建立超越傅里叶定律的传热模型？
长期以来，傅里叶定律一直是描述热传导的标准框架，因为它能够准确阐释常温下，毫米及更大尺度内材料和器件中的热传输过程。然而，近期的实验与理论研究表明，对于由金刚石、石墨和六方氮化硼等超高热导率、超纯材料制成的微尺度器件，傅里叶定律的模型可能会失效。
在这些系统中，声子（主要的热载体）在特定的温度范围内（可从极低温约 70 K 延伸至接近室温）会经历频繁的动量守恒碰撞。这一状态被称为 “声子流体动力学（phonon hydrodynamics）”。在此状态下，热传输呈现出集体性和类似流体的特征，并由此催生多种物理现象，例如温度波（即 “第二声”）、类泊肃叶型热流（即在通道中心流动较快，在边界处较慢）、热回流以及热涡流。
要准确捕捉这些效应，所采用的模型不能局限于标准傅里叶扩散理论模型，同时还需能够适用于真实的几何结构开展运算。这正是提出粘性热方程（VHE）（参考文献 1 和 2）并在 COMSOL Multiphysics® 软件中实现该方程的研究出发点。
粘性热方程的由来
从更深层的物理机制来看，粘性热方程源于对线性化声子玻尔兹曼输运方程（LBTE）的系统粗粒化处理。在这一过程中，复杂的微观声子动力学被投影到一小组局部平衡场上：温度 T(r,t) 和漂移速度 u(r,t) 。产生这种漂移速度是因为：在流体动力学区间内，动量守恒的声子碰撞（即正常过程）占据了主导地位，其作用远大于导致动量弛豫的倒逆（Umklapp）过程，从而使得声子能够集体携带晶体动量。因此，热传输不再仅仅由温度梯度决定，还受到该动量场演化的影响。基于此，粘性热方程由两个耦合的方程组成：
- 关于 T(r,t) 的能量守恒方程
- 关于 u(r,t) 的动量守恒方程（其形式类似于线性化的纳维-斯托克斯方程）
关键在于，基于底层线性化声子玻尔兹曼输运方程的对称性可推导出两个输运系数：热导率（对应声子分布的奇宇称分量）和热粘度（对应声子分布的偶宇称分量）。前者用于描述扩散热流，后者表征声子流体中的动量扩散和粘性应力，能够解释热涡流、热回流以及非局部传热等现象。此外，该框架能够在不同的物理区间内实现自然过渡：当动量被强烈耗散时，它会退化为傅里叶定律；在极限情况下，它也能还原为 Guyer-Krumhansl 方程和双相滞后方程等之前提出的流体动力学模型。同时，该框架完全适用于具有复杂声子色散关系的真实材料。
从微观理论到连续介质模型
在微观层面，声子输运由玻尔兹曼输运方程来描述。尽管该方程具有极高的预测能力，但在复杂几何结构中求解的计算成本极其高昂，因此并不适合用于器件尺度的建模。
粘性热方程提供了一种介观尺度的替代方案。它通过引入一个额外的物理场——声子漂移速度，对傅里叶定律进行了扩展。从这个意义上讲，粘性热方程相当于经典层流流体线性纳维-斯托克斯方程在量子声子流体中的对应形式。在该框架下，温度的演化与声子的动量守恒方程相耦合，使得模型能够在扩散区间和流体动力学区间之间实现自然过渡。
该方法的一个核心优势在于：所有的材料参数（如热导率、粘度和弛豫速率等）均通过第一性原理计算，求解一次线性化玻尔兹曼输运方程即可确定。随后，这些参数被代入连续介质模型中，从而能够在不牺牲物理保真度的前提下，对任意几何结构进行高效模拟，同时完整保留了量子力学和第一性原理（ab initio）的精度。
实现声子流体动力学的粘性热方程
为了让这一框架更易于使用，我们利用 COMSOL Multiphysics® 软件中的“物理场开发器”功能，开发了一个自定义物理场接口。安装完成后，该接口将以 粘性热方程（VHE）的形式显示。
该接口的功能：
- 温度-速度耦合传热公式
- 稳态与瞬态仿真
- 适配流体热流的边界条件
- 适用于复杂几何结构与介观尺度器件
安装接口
安装流程遵循物理场开发器的标准操作步骤：
- 在 COMSOL 首选项设置中启用物理场开发器
- 导入开发器文件
- 从 我的物理场接口 中添加 粘性热方程（VHE）接口
点击展开下方板块，获取安装该接口的分步操作说明。
步骤 2. 从 文件 菜单中选择 首选项。在 首选项 窗口，从左侧列表中选择 物理场开发器，然后勾选 启用物理场开发器 复选框：
步骤 3. 一旦 物理场开发器 按钮出现，代表该接口已准备就绪。打开一个现有模型或者新建一个空模型，在 窗口 下拉菜单中选择 物理场开发器管理器：
步骤 4. 打开 添加物理场 窗口，定位至 我的物理场接口 下，接口显示名称为 粘性热方程（VHE）：
控制方程和边界条件
该接口直接将粘性热方程作为一个耦合系统来实现，具体包括：
- 一个温度相关的能量守恒方程
- 三个关于声子漂移速度分量的动量守恒方程
从用户的角度来看，这些方程的使用方式与 COMSOL 中的任何其他物理场接口无异，并且可以与标准的网格划分、求解器以及后处理工具结合使用。
专为热流物理特性定制的边界条件
为了模拟不同的物理区间，该接口提供了多种边界条件：
- 固定温度边界：用于模拟理想热库
- 温度梯度通量边界：仅对传热的扩散分量进行约束
- 速度约束：用于控制声子的动量输运
- 滑移边界：代表声子的镜面反射
- 无滑移边界：模拟声子的完全扩散散射
借助这些选项，用户可以在纯扩散行为与强流体动力学行为之间对模拟进行连续调节。
温度边界条件设置以及滑移、无滑移边界条件在 粘性热方程（VHE） 接口中展示如下：
示例 1：傅里叶扩散与流体动力学热流的对比
为了直观地展示扩散传热与粘性传热之间的定性差异，我们考虑一个简单的双矩形几何结构。在主区域内施加垂直温度梯度，较小的侧边区域则与之横向连通。
根据傅里叶定律，热量直接从高温区流向低温区，形成平滑的等温线。而当采用粘性热方程时，则会呈现出截然不同的物理现像：热量在较小的区域内发生再循环，形成类似涡流的结构，并产生微小但确切的热回流现象。下图展示了分别使用傅里叶定律（左）和粘性热方程（右）得到的稳态温度分布对比，清晰地呈现了流体动力学的再循环与热回流效应。
示例 2：不可压缩极限下的热涡流
在粘性热方程的不可压缩流动极限下，热传输的流体动力学本质变得更加清晰。在该区间内，声子漂移速度的散度为零，热传输主要由动量流主导，而非扩散作用。
模拟结果显示，稳态热涡流会自发形成（参考文献 3）——这种现象在纯扩散模型中是完全不存在的。
下图展示了扩散区间（上）与不可压缩流体动力学极限（下）的稳态温度分布，重点突出了涡流的形成与热回流现象（参考文献 3）。
瞬态模拟：运动中的流体动力学热流
该接口同样支持完整的瞬态模拟。通过施加瞬态边界条件（例如振荡的漂移速度或交变的温度梯度），我们可以观察到热涡流随时间推移的形成、运动以及反转过程。
这些模拟结果表明，热量的表现与受驱动的粘性流体十分相似，会对外界作用力产生动态响应。
为什么这个接口很重要
该接口在微观输运理论与连续介质建模之间架起了一座实用的桥梁。它使得在全微观方法无法触及的真实几何结构中，探索非扩散传热成为可能。
通过在 COMSOL Multiphysics® 中实现流体动力学热传输，该接口为研究下一代材料与器件中的热现象开辟了全新的可能性。
如需了解更多关于该接口的信息并进行下载，请访问其应用交流页面：声子流体动力学接口。
关于客座作者
Enrico Di Lucente 是纽约哥伦比亚大学应用物理与应用数学系的博士后研究员，同时在材料科学与工程系拥有联合任命。他于 2025 年 12 月加入 Michele Simoncelli 教授的研究组，此前他刚刚在瑞士洛桑联邦理工学院（EPFL）的理论与材料模拟（THEOS）课题组完成博士学位，导师为 Nicola Marzari 教授。他的博士论文题目为 Theoretical and Computational Advances in Quantum and Hydrodynamic Thermal Transport。
他的研究方向为超越傅里叶定律的热输运、声子流体动力学，以及凝聚态物质中热输运和其他基本激发、耦合激发（从磁振子到光与物质相互作用）的第一性原理建模。他的工作致力于在微观输运理论与连续介质建模之间架起桥梁，旨在实现对真实材料与器件几何结构中非扩散热输运的预测性模拟；同时为实验研究提供指导，以设计能够探测非标准量子输运现象的创新器件。这些研究在电子学、储能、聚变屏蔽、自旋电子学和高超音速等新兴技术领域具有潜在的应用价值。他更广泛的研究兴趣还包括凝聚态物理、计算物理、量子输运和磁性。
自 2025 年 1 月起担任哥伦比亚大学应用物理与应用数学系助理教授，其研究团队致力于建立理论与计算框架，以理解、定量描述并控制材料中涉及电荷、热、光和自旋等的量子输运现象，探究它们之间可能存在的协同或制衡关系，以及相关的宏观特征。在加入哥伦比亚大学之前，他曾在剑桥大学物理系担任 Crone 研究研究员（2021-2024 年）。任职期间，他围绕基础量子理论与计算方法开展研究，以描述在具有可控原子无序度（例如化学成分、键网络拓扑结构或几何构型）的材料中，晶体-玻璃复合特性的涌现机制。他于 2021 年在 Nicola Marzari 教授的指导下获得瑞士洛桑联邦理工学院（EPFL）博士学位，其博士论文提出了固体热输运的新型微观与介观理论：即推广了半经典佩尔斯-玻尔兹曼方程的维格纳输运方程，以及傅里叶定律的粘性热方程。
致谢
这款自定义物理场接口的开发及其相关基础理论研究工作，得益于与 Zhiyi Wang（Grenoble Alpes 大学；洛桑联邦理工学院 THEOS 课题组）、Nicola Marzari 教授（洛桑联邦理工学院 THEOS 课题组；剑桥大学卡文迪许实验室凝聚态理论组）的深入交流探讨与合作。
参考文献
- M. Simoncelli, N. Marzari, and A. Cepellotti, Generalization of Fourier’s law into viscous heat equations, Physical Review X 10, 011019 (2020); https://journals.aps.org/prx/abstract/10.1103/PhysRevX.10.011019
- Dragašević, B. Rajkov, and M. Simoncelli, Viscous heat backflow and temperature resonances in extreme thermal conductors. Physical Review Letters 136, 186302 (2026); https://doi.org/10.1103/nbbn-56hr
- Di Lucente, F. Libbi, and N. Marzari, Vortices and backflow in hydrodynamic heat transport, Physical Review Letters 136(5), 056307 (2026); https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/g9dx-hjyn
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