结构力学   应力和运动方程 

应力和运动方程简介

当固体发生变形时，材料中会出现内力分布，这种力称为应力，它是单位面积上的力。

在横截面 A 受轴向力 F 载荷作用的杆中，力方向的应力为 。在日常生活中，我们可以观察到，越厚的物体能承受的力越大。因此，应力是一个非常直观的物理量，它可以反映材料负载程度的相关信息。

除了上图所示的这种非常特殊的情况以外，整个承载体的应力大小和方向都会发生变化。

当力垂直作用于表面时产生的应力称为正应力；沿切向作用于表面的力所引起的应力称为剪切应力。

动量平衡

根据牛顿第二定律，体的内力（如应力）必须与外力和惯性力保持平衡。

我们设想这样一个小表面，其中的质点在整个变形过程中保持不变，并假设变形不会导致材料失去连续性，因此也不会产生裂纹。在发生变形之前，该表面的面积表示为 dA，法矢为 N；在变形后，分别变为 da 和 n。这个表面不一定是体的外表面，也可以是体内任意位置的纯概念表面。

作用在变形区域上的表面力可以表示为

其中，t_n 称为牵引力，而 T_N 通常称为标称牵引力，原因是它将实际变形状态下的作用力与未变形区域关联起来。

牵引力是单位面积上的力。如果在变形过程中面积发生了变化，则两个牵引矢量的大小不同，但方向相同。

我们可以使用牵引力的空间分量 T_i 来表示标称牵引力，并用其材料分量 N_J 来表示法矢。有关空间坐标系和材料坐标系的讨论，请参阅变形分析页面。

此外，我们还可以基于法矢将牵引分量写为以下线性展开式：

在此处和下文中，假设对重复指标求和。空间分量和材料分量分别使用小写和大写字母。

这种表示有时称为柯西定律 或柯西公式，仅适用于 P_iJ 为特定二阶张量的分量的情况。

对于任意未变形的材料体积 V₀，动量守恒可以用以下积分形式表示：

其中， 表示体积力，如重力或离心力，速度场根据位移场 计算为 。

根据散度定理，使用柯西公式可以将表面积分转换为体积积分：

由于体积任意，因此可以得到动量平衡方程的微分形式如下所示：

或者使用张量符号得到：

张量 P 称为第一类 Piola-Kirchhoff 应力张量，它将空间方向的作用力与原始未变形构型中的区域关联起来。因此，它的分量指标涉及不同的构型。有时，这种数学对象称为两点张量。一般来说，这个张量不对称。

在实际的变形构型中，可以对牵引矢量 t_n 和材料体积应用类似的方法，由此，矢量可用下式表示：

张量 称为柯西应力张量 或真实应力张量，原因是它表示与实际变形区域相关的实际构型中的力。该张量由其空间分量表示。

我们设想这样一个小区域，其法矢与一个空间坐标轴（例如，第三轴）平行，此时柯西应力张量分量的含义会变得非常明确。由此可得该区域的法矢为 {0,0,1}，并且牵引力可由下式给出

如此一来，具有 33 个指标的应力张量分量可以给出平面上第 3 个方向（平面法向与此相同）的牵引矢量分量。具有两个相等指标的应力张量分量称为正应力。另外两个应力张量分量提供与平面相切的牵引力部分，这种分量称为剪切应力。

通过对一个小立方体取力矩平衡，可以看出柯西应力张量是对称的，因此得到 ，只要没有体积矩作用，这个等式就成立。尽管这种材料并不常见，但确实存在，可以通过 Cosserat 理论 进行分析。

由于柯西应力张量和第一类 Piola-Kirchhoff 应力张量对同一个表面力有着不同的表示，

要确定这两种应力测量方式之间的关系，我们可以使用 Nanson 公式 计算变形引起的面积变化，表示为

其中，F 为变形梯度张量，由此可得

体积因子 J 可以给出变形引起的体积变化。因此，应力张量可通过下式与之关联

通过引入一个称为基尔霍夫应力张量（定义为 ）的张量，可以进一步简化这个公式及类似公式。基尔霍夫应力张量是一个几乎没有实际用途的物理量，但却具有理论上的便利性。

质量守恒和欧拉公式

根据柯西应力张量，动量平衡方程可以写为

请注意，方程中的密度表示已变形材料的真实密度。此外，体积力 为单位变形体积上的力。由于质量守恒，密度与变形隐含相关

从计算的角度来看，引入的非线性降低了这种动量平衡方程形式的关注度。

通过使用速度并基于 x = x(X, t) 将自变量转换为空间坐标，可以得到

这就是欧拉公式中的动量平衡。这种公式通常用于流体动力学，其中使用速度作为因变量。

机械能平衡

将动量方程的微分形式乘以速度矢量，并基于材料对其进行积分，可以得到以下方程：

这个方程给出了机械能平衡 的积分形式，也称为幂定理。速度的空间梯度为 ，其中的 : 运算符表示对两个指标求和；。变形分析页面对速度梯度的特性进行了详细论述。

方程右侧的两个积分项分别表示体积力和表面力的功率输入，它们分别是这些力在每单位时间内对材料所做的功。

左侧的项分别为动能变化率以及为体提供的应力功率。对于弹性材料，应力功率是应变能密度变化率。

通过使用以下关系式

应力功率可以表示为以下等价形式：

因此，我们得出这样一个结论：第一类 Piola-Kirchhoff 应力张量和变形梯度形成了能量共轭对。这种共轭对也可以称为功率共轭 或功共轭 应力和应变测度。

速度梯度可以分解为对称和反对称部分，分别称为应变率张量（L_d）和自旋张量（L_w）。由于柯西应力张量是对称的，，因此，与柯西应力形成功率共轭的应变测量是应变率张量。后者也可以写为

其中

为格林-拉格朗日应变张量。由此，应力功率积分可以改写为：

其中

称为第二类 Piola-Kirchhoff 应力张量，这是一个对称张量，与格林-拉格朗日应变形成能量共轭。

第一类和第二类 Piola-Kirchhoff 应力张量通过下式相关：

基于此公式，我们可以将动量平衡方程改写为：

再结合以下形式的本构关系

可以形成位移矢量的封闭方程组。

旋转平面上的应力分量

对于承受轴向载荷的杆，我们很容易将应力 看作一个标量，并认为这个杆上只存在正应力。全应力张量为

在 x 轴与杆的方向一致的坐标系中表示该应力张量的分量，而在任何其他坐标系中，则同时存在正应力和剪切应力。我们设想一个不与杆轴垂直的概念内表面，就能看出这一点。在这个表面上，实际上存在法向（σ）应力和剪切（τ）应力，如下图所示。

在第一轴与表面法线一致的旋转坐标系中，应力张量的结构如下

其中， 表示杆轴与表面法线的夹角。

这种应力状态通常称为单轴应力；不过，只有在特定的坐标系中，它才能用单个正应力分量表示。

柯西应力与第二类 Piola-Kirchhoff 应力比较

我们设想一种正交各向异性材料，其中在沿直悬臂梁的特定方向上包含纤维。

由于第二类 Piola-Kirchhoff 应力沿材料方向定义，因此，我们可以通过它将纤维方向的应力可视化，即使结构处于旋转状态也可以执行此操作。

在下图中，由于梁的一端受纯力矩作用，导致梁发生弯曲。我们可以看到柯西应力和第二类 Piola-Kirchhoff 应力的分量 11。由于弯曲应力沿着梁物理定向，因此，与空间固定水平方向相关的柯西应力的分量 11 会随着挠曲的发生而减小。另一方面，第二类 Piola-Kirchhoff 应力沿整个梁（也处于变形构型）具有相同的全厚度分布。

第二类 Piola-Kirchhoff 应力的实际值更难解释，原因是它与原始面积或变形面积都无关。

发布日期：2018 年 4 月 19 日
上次修改日期：2018 年 4 月 19 日