如何优化电磁线圈的间距

2017年 4月 20日

设计电磁线圈时,我们可能需要调整线圈的位置,以便在特定的空间区域内获得所需的磁场强度。这可以在 COMSOL Multiphysics® 软件中通过使用附加的“AC/DC 模块”和“优化模块”结合参数和形状优化来实现。我们看一下如何操作。

初始线圈设计和优化问题

假设我们的任务是设计一个线圈,使沿着部分中心线的磁场尽可能接近目标值。正如我们在之前的博客文章中看到的,我们可以通过调整每匝线圈的电流来实现这个需求。但是,这要求我们在设计方案中为每匝线圈设计单独的电流控制。从另一个角度考虑,我们可以对整个线圈使用单一的电流控制,但是沿轴向调整线圈的间距来实现需求。

10匝轴对称线圈的示意图。
十匝轴对称线圈。目标是改变中心线(绿色)处的磁场。

我们将要分析的案例如上图所示。十匝轴对称线圈由单个电流源驱动; 也就是说,流经每匝线圈的电流相同。初始线圈设计为,直径为 1 厘米的线圈相隔 S0 = 4 厘米的距离。由于线圈是轴对称结构(我们只关注关于 z = 0 平面对称的解),我们可以使用下图所示的简化计算域。

电磁线圈计算模型的示意图。
计算模型。我们想要改变五个线圈的位置和线圈电流。

我们的优化目标是通过改变五个线圈的线圈电流和 位置,使沿着一部分中心线的 B场尽可能接近期望值 B0。每个线圈可以移动的距离为 ,相邻线圈之间必须存在 G的间隙,因此第一个线圈的偏移量具有不同的下限。我们还需要对峰值电流进行约束,将电流限制在大于零的范围内。虽然从物理上讲,没有必要将电流限制在大于零的范围内,但这样做是一个很好的优化建模的技巧,因为这样可以保持受限的设计空间更小。

更正式地讲,这些陈述可以写成:

\begin{aligned}& \underset{I, \Delta Z_1, \ldots ,\Delta Z_5}{\text{minimize:}}& & \frac{1}

{L_0}
\int_0^{L_0} \left( \frac{B_z}{B_0}
-1 \right) ^2 d l \\\end{aligned}

\begin{aligned}
& \text{subject to:}& & -(S_0-G_0)/2 \le \Delta Z_1 \leq \Delta Z_{max} \\\end{aligned}
\begin{aligned}
& & & -\Delta Z_{max} \leq \Delta Z_2, \ldots ,\Delta Z_5 \leq \Delta Z_{max} \\\end{aligned}
\begin{aligned}
& & & G_0 \le (Z_5-Z_4) \\\end{aligned}
\begin{aligned}
& & & G_0 \le (Z_4-Z_3) \\\end{aligned}
\begin{aligned}
& & & G_0 \le (Z_3-Z_2) \\\end{aligned}
\begin{aligned}
& & & G_0 \le (Z_2-Z_1) \\\end{aligned}
\begin{aligned}
& & & 0 \leq I \leq I_{max}\\\end{aligned}

我们通过使用 COMSOL Multiphysics 中的优化 变形几何 接口,结合参数和形状优化来求解这个问题。

COMSOL Multiphysics® 中优化问题的建立和求解

我们可以先看一下此篇文章中开发的模型,其中针对特定的物理场值进行了优化。我们从上一篇博客文章中介绍的相同优化 接口和积分目标 特征开始操作。然后使用两个全局控制变量 特征。第一个特征设置五个线圈的位移,使用控制变量尺度 来缩放接近于一的优化变量。第二个特征是全局控制变量 特征,用类似的方法定义和约束电流。

COMSOL Multiphysics® 中五个线圈位置的变量定义的屏幕截图。
控制五个线圈位置的变量及定义。

上面屏幕截图中显示的五个控制变量 定义了线圈的位移,以及每匝线圈周围的一小块方形空间区域,如下图中绿色域所示。当这些绿色域上下移动时,周围的黄色域必须伸展和收缩来适应这种情况,而周围的蓝色域保持固定不变。我们知道绿色域的位移,因此我们可以指定沿着所有红色边的位移的线性变化。这种线性位移变化可以使用系数形式边界偏微分方程 接口进行计算,如先前关于平移运动建模的博客文章所述。

模型域的变形定义示意图。
模型中各个域的变形示意图。

有关各个域的指定位移的信息使用变形几何 接口设置,如下面的屏幕截图所示。指定变形 域特征用于移动绿色域,黄色域随自由变形 域的设置而变形。指定网格位移 边界特征适用于黑色和红色边,并完全定义黄色域的变形。

“变形几何”接口中“指定变形”特征的设置屏幕截图。
通过 变形几何接口中的“指定变形”特征控制线圈位移

以这种方式设置变形几何 接口,最终得到线圈位置的五个控制变量现在表示形状优化问题。之前,我们已经从一个更通用的结构力学示例讨论了一种形状优化。形状优化利用 COMSOL Multiphysics 计算设计方案对几何形状发生变化的敏感性。

我们还需要定义一组全局不等式约束,以防止线圈周围的绿色域彼此过于靠近并相交。下面的屏幕截图显示了这种实现方法。请注意,约束相对于间隙大小 G缩放,使得约束方程在大小上也接近1。

显示输入字段中约束表达式的屏幕截图。
防止线圈相互靠得太近的四个约束之一。

由于拉伸和收缩线圈周围的域中可能发生大的变形,因此使用映射网格也很有帮助。

屏幕截图显示用于电磁线圈周围变形域的映射网格。
映射网格用于线圈周围的变形域。无限元域也有一个映射网格。

然后,我们可以利用通过解析方法计算的梯度,使用基于梯度的优化求解器(SNOPT)来求解这个问题。调节通过线圈的电流和线圈位置以最小化上述目标函数。优化结果如下图所示。

绘制优化线圈沿中心线的磁通密度 z 分量的图表。
沿优化线圈中心线的磁通密度 z 分量。

显示优化线圈位置的图片。
优化的线圈位置。

优化电磁线圈间距的总结思考

我们引入了一个模型,其中使用形状和参数优化的组合来调整二维轴对称线圈中的线圈电流和线圈间距。通过利用优化 变形几何 接口,我们能够用解析方法计算此问题的导数,并非常快地收敛到最优值。

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