人们经常认为圆周率 π 只是一个存在于圆形和三角函数中的数学概念，但实际上，这个著名的常数经常出现在许多意想不到的地方。在本文中，我们将模拟一个看似不起眼、却能用来估算 π 的装置：单摆。在这熟悉的摆动现象之下，隐藏着数学与物理学之间迷人的联系。我们将通过一个简单的仿真 App 将这一想法付诸实践，让您能轻松地调整不同参数，直观感受“运动中的数学”。
圆周率估算史
纵观历史，多个古代文明曾通过各种几何方法来计算圆周率 。后来，在 17 至 18 世纪，格雷戈里-莱布尼茨（Gregory–Leibniz）和梅钦类（Machin-like）公式等无穷级数的出现，推动了圆周率计算的发展，使得数学家能够手工算出数百位有效数字。
借助现代科技，利用高性能计算机和先进的算法， 圆周率的计算已经达到了惊人的精度。在之前的一篇博客文章中，我们曾讨论过如何利用蒙特卡洛方法估算圆周率。如今，借助快速收敛无穷级数的顶尖计算方法——例如斯里尼瓦瑟·拉马努金（Srinivasa Ramanujan）和楚德诺夫斯基兄弟推导出的那些公式（参考文献 1），我们已经能够计算出 π 的万亿位数字。
单摆
不过，在这篇博客文章中，我们将暂时抛开那些复杂的高科技手段，转而采用一个您在现实生活中就能轻松复现的实验：单摆。所谓的单摆，是由一个被称为“摆球”的重物（理想情况下被视为质点）系在一根绳子（理想情况下被视为无质量）的一端构成的。这样一个单摆完成一次完整往复摆动所需的时间，也就是它的周期 T ，可以用以下公式来表示：
其中， L为摆长， g 为重力加速度。若已知单摆摆动的周期，便可估算出圆周率的数值：
通过测量单摆摆动的周期，您可以直接通过观测来估算圆周率的值。不过，这个公式是基于简谐运动假设的——这只有在摆角足够小，满足 sinθ ≈ θ 时才成立。所以该方法最适用于小角度释放的情况。您可能已经注意到，摆动周期明显与摆球的质量无关。然而在现实系统中，绳子具有非零质量，摆球也有一定半径（并非质点）。这意味着，当单摆越接近理想情况时，估算出的 π 值就越精确。也就是说，绳子越轻（接近无质量）、质量越集中在质点般的摆球上、且初始摆动角度越小（<15 度），结果就越准确。
构建仿真 App
基于 COMSOL 模型开发的仿真 App 可作为一种预测工具，让您在实际开展实验之前，就能探索摆长、质量等不同设计参数是如何影响结果的。为了构建一个简单的单摆模型，我们将使用 COMSOL 的附加产品 多体动力学模块中的 多体动力学 接口，正如双摆示例模型中所展示的。在该模型中，事件 接口通过一个名为 count 的离散状态 变量追踪仿真过程中的摆动次数。这个过程分为两个阶段，由两个隐式事件来表示。当摆球在 x 方向的速度变为负值时，count 会增加一个小于 1 的正分数；当 x 方向的速度再次变为正值时，利用向上取整函数将 count 进位到下一个整数。此外，还设置了一个停止条件作为另一个隐式事件，当 count 达到指定的摆动次数时就会触发。一旦仿真终止，将根据总仿真时间 (Tsim) 和摆动次数 (N)，通过相应方程计算出圆周率。
现在，让我们使用 App 开发器 来创建一个 App，用于估算不同配置下单摆的圆周率数值。借助拖拽式的表单设计功能和用于编写简短代码的方法编辑器，您无需掌握大量的编程知识，就能轻松构建定制化的仿真 App。这款 App 作为一个交互式工具，能够通过计算周期来估算不同摆参数下的圆周率。这种方法在教育场景中尤为实用。例如，教师可以利用该仿真 App 设计尺寸和周期适合课堂演示的单摆，从而帮助学生建立理论预测与实际测量之间的联系。
该 App 包含多个滑块，可用于控制摆长、摆球半径、初始释放角度以及待求解的摆动次数。此外，它还包含一个输入框，可供输入摆球密度与细绳密度之比的数值。
一旦设定好您想要的单摆参数后，点击 绘制单摆 按钮，软件界面就会根据所选数值显示出单摆的外观。接着，您可以点击 计算 按钮开始仿真，在此期间，图形 窗口和能量曲线图会实时更新。求解完成后，界面会显示估算的圆周率数值以及与真实值的误差，以反映本次求解的结果。欢迎在本文下方的评论区分享让您得到圆周率最佳估算值的参数！
该仿真 App 使用过程中的屏幕录制。
在 COMSOL Multiphysics® 软件中使用 App 开发器开发此类应用，可通过调用模板实现，而无需具备丰富的编程经验。通过这种方式，工程师与科研人员能够将理论与仿真紧密结合，让那些不熟悉建模操作的用户也可以便捷地使用他们开发的模型。
下一步
欢迎您点击下方按钮，从仿真案例库中下载包含该仿真 App 设计及相关文件的 MPH 文件！
扩展阅读
若您想了解仿真 App 在现实世界中是如何应用的？请查看如下几个示例：
- 阅读一篇基于多物理场仿真开发智能手机应用程序的文章：借助仿真 App 预测水果保质期
- 了解一位大学教授如何在课堂上使用仿真 App：使用仿真 App 进行远程实验课程教学
参考文献
- Borwein, J.M. and Borwein, P.B., 2004. Ramanujan and Pi. In Pi: A Source Book (pp. 588-595). New York, NY: Springer New York.
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