如何在热膨胀仿真中提供结构稳定性

2018年 6月 28日

假设你想计算物体的热膨胀和应力,提供边界上的热通量和温度约束,然后计算,可是并不收敛。通常,这种结果归因于缺乏位移约束。问题是,提供不引起人为应力的约束并非易事。今天,我们介绍 COMSOL Multiphysics® 软件中的刚体运动抑制 特征,你可以使用该特征自动找出所需的约束。

结构分析中的运动学约束

在静态或准静态结构分析中,我们要寻找的是均衡解。物体可以自由变形,但不能像刚体一样自由移动或旋转。为此,反作用力必须与作用力相互平衡。反作用力来自对位移和旋转的约束。在二维中,我们需要防止发生两个位移和一个旋转;在三维中,我们需要约束三个位移和三个旋转。

如果不提供约束,则不平衡的力会移动或旋转对象,这与平衡假设不一致。因此,问题有多个解,它们因刚体运动而互不相同。得到的刚度矩阵是奇异的,稳态求解器无法收敛。

看待这个问题的另一种方式是从数学角度。平衡方程是椭圆偏微分方程,需要足够的狄利克雷边界条件才能得到唯一解。

由于惯性项的存在,这在动态分析中不是问题。与静态分析中不应该存在不平衡力不同,动态分析中的不平衡力可以自由地产生加速度。其对应的方程是双曲线型的,不需要狄利克雷边界条件就可以满足计算要求。请注意,我们所讨论的是动态分析,而不是仅忽略了惯性贡献的准静态瞬态分析,我们忽略了惯性贡献。我们在本文中讨论的例子是静态分析。

无法收敛:热膨胀问题

假设我们想研究由热膨胀系数(CTE)不同的基板和涂层制成的层合板中的应力。当层合板无应力时,涂层在 800℃ 的温度下沉积在基板上。如果我们将温度降低到 150℃,希望找到由 CTE 不匹配引起的应力。在这个例子中,由于我们知道各处的最终温度,因此不需要求解传热问题,可以直接将热膨胀 属性添加到线弹性材料 节点。
热膨胀问题无法收敛的一个例子。
没有足够位移约束的热膨胀仿真无法收敛。

具有较高 CTE 的基板在冷却时比涂层更容易收缩。但是将它们粘合在一起会迫使它们在公共边界处有相同的位移。因此,预计会出现基板中的拉伸应力、涂层中的压缩以及结构的整体弯曲。然而,此时单击计算 只会给我们带来“找不到解”类型的收敛错误,这是因为,分析没有唯一解。

用“强力”实现收敛

如果我们在某些面(比如左边两个面)上添加固定约束,肯定能防止刚体位移或旋转。或者,如果我们在左侧面和底部面添加对称条件,约束非平行面上的法向位移,也可以防止刚体运动。无论是哪种情况,模型都会收敛。以下是在将位移放大之后的变形构型上绘制的 方向上的法向应力结果。

使用固定约束的热膨胀模型。
用对称条件求解的热膨胀模型。

左图为具有固定约束情况下的解,右图为具有对称条件情况下的解。

上述解具有非常不同的应力分布和变形模式。两个解至少有一个应该是错误的。比如说,如果我们的问题是对称的,当只使用四分之一仿真域和对称边界条件。另一个好处是,利用对称性可以减少计算内存和时间需求。如果底部有相同厚度的第二层涂层,我们就能做到这一点。如果我们人为地强制对称,我们将得到一个收敛的、但不合理的解。

如果这个层合板随意放在桌面上,并且没有对称性,则上述两个边界条件都会得出错误的解。收敛不充分:我们想要收敛到一个物理上正确的解。为此,我们希望提供约束来稳定模型而不扭曲应力状态。

得到精确解的手动方法

如果问题具有足够的对称性,最好使用这些对称性,如上所述。否则,我们需要给出不引起人为应力的位移约束。这里有几种选择。一种选择是使用“3-2-1”方法:

  1. 选择三个完全分离的非共线点(对于三维模型)
  2. 在三个方向上固定第一个点
  3. 将第二个点限制在从点 1 到点 2 的矢量法线的两个方向上
  4. 将最后一个点限制在垂直于由三个点形成的平面的方向上

注意:对于二维模型,该方法简化为固定第一个点,并将最后一个点限制在垂直于两个点形成的直线方向上。
稳定二维结构的一个例子。
使用点约束稳定二维结构。
用手动方法稳定二维热膨胀问题的建模结果。
手动指定不影响应力状态的位移约束后的结果。

尽管可以采用这种方法,但在较复杂的问题上这种方法可能会变得棘手。设想一种结构,其中边界与坐标方向没有整齐对齐,如上述对象中所示。现在,我们必须约束位移 和 的一些函数,而不仅仅是第二点处的 v。这在三维问题中很容易失控。此外,当使用其他结构力学接口(如梁 接口)时,自由度并不总是位移。我们来看一个简单而唯一的解。

自动刚体运动抑制

无论空间维度或结构理论(接口)如何,我们都可以使用刚体运动抑制 节点,这样 COMSOL® 软件能够处理缺失的位移约束。此特征自 COMSOL Multiphysics 5.3 版开始提供。选择“模型开发器”中的固体力学 > 域约束 > 刚体运动抑制,可以访问此节点并向其添加域。
COMSOL Multiphysics 中自动刚体运动抑制的设置。
二维问题的刚体运动抑制。

我们通过自动逼近刚体运动抑制的方法得到以下结果:
使用自动刚体运动抑制时二维热膨胀问题的建模结果。
温度变化和 CTE 不匹配引起的应力。

在上述解中,应力是相同的,但变形后的形状看起来不同。事实上,他们的不同之处在于刚体运动。当我们手动提供刚体运动抑制时,我们从无数个解中选出一个。自动刚体运动抑制可能选择了另一个。因此,刚体运动的位移可能不同,但应变和应力是相同的。

在当前示例中,我们可以将任一域或两个域都添加到刚体运动抑制 节点。由于两个域是粘合的,防止刚体在一个域中运动就足够了。在这种情况下,域的选择不会改变所获得的应力状态。它只是改变了软件决定约束的点。

现在我们来看一个三维问题。考虑多种类型的结构力学接口,并使用传热 接口来获得不均匀的温度分布。这是一个模拟加热电路装置的电热产生、传热以及机械应力和变形的示例。
在 COMSOL 模型中使用刚体运动抑制的示例。
由加热电路中的 CTE 不匹配引起的 Von Mises 应力。

结构力学模块用户指南 中描述了 COMSOL Multiphysics 软件用于识别与刚体运动抑制 特征一起使用的点和约束的算法。

防止误用的警告

通常在热膨胀仿真中,温度变化是应力的唯一激活的源。但如果存在机械力,它们应该自动形成平衡。刚体运动抑制 特征假设没有净作用力。如果情况并非如此,我们需要适当的约束来提供平衡所施加的机械力的反作用力。

哪些域应该自动约束?

在具有多个域的装配中,某些域可能没有足够的约束。我们不想人为地约束那些已经有足够约束的域。静态分析的收敛误差并不能帮助我们确定哪些域是稳定的,哪些域是自由悬挂的。

在这种情况下,我们可以执行特征频率分析来找到悬挂域。对应于刚体运动的模式具有接近于零的特征频率。

我们通过使用包含三个矩形域的装配来演示这一点。底部两个域粘合在一起,顶部域挂起。我们对最底部的边界应用固定约束。

有三种频率接近于零的模式,分别对应于悬挂域的三种刚体模式。现在我们已经知道哪个域需要刚体运动抑制。
使用特征频率分析识别悬挂域的示例。
利用特征频率分析来识别悬挂域。

请注意,这里使用非常粗化的网格就足够了。如果特征频率分析的动机是识别悬挂域,则仅寻求低频模式。为此,足以捕获对象形状的单元就足够了。在随后的静态分析中,我们希望使用足够细化的网格来获得精确的解。

这种悬挂域在接触力学仿真中经常遇到。在物体建立足够的接触以稳定彼此之前,一些物体可以会被悬挂。在接触仿真中,我们一般不会希望这些域留在原位。在这种情况下,我们使用 COMSOL Multiphysics 特征,例如弹簧基础,它可以稳定域,而不会将它们固定在原位。有关详细信息,请参阅结构力学模块用户指南 中的“接触建模”部分。

总结

本文中我们讨论了热膨胀仿真中常见的收敛问题的原因:缺乏位移约束。我们讨论了用于缓解这一问题的手动和自动技术。刚体运动抑制 条件有助于使这个过程自动化,并在处理复杂设置时节省时间。为了识别要添加到刚体运动抑制 节点的域,我们可以在粗化网格上使用特征频率分析。

后续操作


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