参数优化

在 COMSOL Multiphysics^® 中进行参数优化时，只需添加通用的优化 研究，关联的设置窗口便会引导用户添加目标函数、控制变量和参数，以及约束条件。优化过程中使用的参数可与最初建模时所用的参数相同，例如几何尺寸、材料属性或边界载荷等。不同于主要用于在设计参数空间中进行整体分析的参数扫描，进行参数优化能够直接给出最优参数及其对应的目标函数值。

当参数优化涉及用于定义几何尺寸的参数时，每次迭代都需要重新划分网格，而“优化模块”能够自动完成这一过程。最终得到的最优解始终是真实 CAD 零件的几何模型，并可立即导出为工业标准的 CAD 格式。此功能需配合 CAD 导入模块、设计模块或任一 CAD LiveLink™ 产品使用。

拓扑优化

与参数和形状优化相比，拓扑优化在几何形态变化方面提供了更高的自由度，允许在优化过程中去除或增加材料，从而在几何中创建原始设计所不具备的孔结构。由于这一方法通常生成具备有机形态的设计，因此在轻量化设计领域得到广泛应用。软件提供专为执行拓扑优化而设计的用户界面和研究类型。

拓扑优化具有极高的设计自由度，由此产生的设计结构可能难以通过传统制造工艺实现。因此，在实际应用中常常会引入制造约束，以确保优化后的设计能够通过挤压、铣削等加工方式进行生产。

与形状优化类似，拓扑优化过程中也无需重新划分网格。优化完成后，经过平滑处理的最优设计可以导出为 STL、3MF 或 PLY 等文件格式，便于在其他软件中进一步处理，或在 COMSOL Multiphysics^® 中进行验证分析。

基于梯度的求解器

当能够利用伴随方法高效计算导数时，基于梯度的优化方法便成为理想之选。只要用户自定义的目标函数或约束条件可微，该方法即可适用。这得益于 COMSOL Multiphysics^® 软件核心技术的符号微分功能，为用户定制多物理场分析提供了高度灵活性。

当设计问题包含成千上万甚至数百万个变量时，基于梯度的优化方法尤为适用。这在形状优化或拓扑优化中较为常见——此类问题中的设计变量通常表示空间分布的场量，并通过每个网格单元上的不同取值来表征。

基于梯度的方法能够同时计算所有解析导数，而无导数方法则必须近似计算每个导数。因此，随着设计变量数量的增加，无导数方法的计算耗时会显著增长。

“优化模块”提供以下基于梯度的方法：

• 移动渐近线法（MMA 和 GCMMA）
• 内点优化算法（IPOPT）
• Levenberg–Marquardt

这些方法支持的研究类型包括：

• 稳态，涵盖：
  • 频域
  • 频域-稳态
• 特征值：
  • 特征频率
  • 先稳态，后特征频率
• 瞬态

形状优化

除了通过改变一组 CAD 参数进行优化以外，软件还内置了形状优化功能，可在满足特定约束条件的前提下，实现几何结构较为自由的变形。与参数优化相比，这种方法具有更高的自由度，在某些情况下能够带来更优的结果。软件提供了一组专用的用户界面，用户可以方便地定义二维或三维模型中支持的边界变形。此外，软件还特别提供壳形状优化特征，并配有专门用于控制求解器的形状优化研究类型。

用于实体结构的形状优化工具基于可控网格变形方法，无需在优化过程中重新划分网格。优化后得到的最佳几何形状能够保存为 STL、3MF 或 PLY 等面网格文件，既可在 COMSOL Multiphysics^® 中重新用于后续独立分析，也可以导出供其他软件使用。

参数估计

模型的准确性与输入参数密切相关，但从供应商处获取精确的材料参数往往并不容易。对于具有非线性特性的系统，通常需要通过实验来确定相关参数。然而，设计能够通过解析方法提取目标参数的实验本身就颇具挑战性。

“优化模块”的参数估计功能为解决上述问题提供了有效方案：通过寻找一组模型参数，使仿真结果与物理实验数据之间的误差最小化，从而实现参数的精准标定。除了通用参数估计界面外，本模块还提供专用的曲线拟合用户界面，支持将模型表达式所表征的曲线与瞬态数据进行拟合。

参数估计方法基于最小二乘拟合，适用于参考数据为时间函数或单参数函数的问题。在许多情况下，软件还能够给出估计参数的方差估计值和置信区间，帮助用户更好地评估结果的可信度。

为了帮助用户快速上手，软件配备了一个即用型参数估计 App。用户既可以在其中导入实测数据，也可以使用内置的教程示例，并通过输入自定义模型表达式进行曲线拟合。

无导数求解器

当优化求解器所需的搜索方向只能通过间接方式计算时，通常需要采用无导数优化方法。此类方法在参数优化问题中尤为常见，特别是在控制变量表示几何尺寸、每次迭代均需重新划分网格的情况下。

“优化模块”提供以下无导数方法：

• Nelder–Mead（单纯形法）
• 基于二次逼近的边界优化（BOBYQA）
• 基于线性逼近的约束优化（COBYLA）
• 高效全局优化（EGO）

最优控制

工艺过程的持续时间通常与成本直接相关，因此最小化时间往往有助于降低成本。然而在某些情况下，延长工艺过程的时间反而更为有利，例如延缓产品的老化或损坏过程。

“优化模块”内置了对常见最优控制问题的支持，包括正则化处理以及优化控制值的便捷导出功能。借助这一功能，用户可以快速建立优化问题、完成求解，并在更大规模的仿真或工作流程中重用优化结果。

所有优化求解器均支持最优控制和时间最优控制问题。在实际应用中，显著的性能提升往往需要大量可调参数，这类问题通常更适合采用基于梯度的优化方法进行求解。